广东省“三校联盟”2021届高三上学期数学第三次大联考试卷

试卷更新日期：2021-09-29 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 复数 $z = \frac{1 + 2 i}{3 - 4 i}$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 等于（）

A、 $- \frac{3}{5} i$ B、 $- \frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ C、 $- i$ D、 $\frac{4}{3} - i$

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2. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $2 \sin A = 3 \sin B ， c = \frac{\sqrt{5}}{2}$ 且 $\cos C = \frac{2}{3}$ ，则 $a =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、3

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3. 设向量 $\vec{a} = (1, x - 1)$ ， $\vec{b} = (x + 1, 3)$ ，则“ $x = 2$ ”是“ $\vec{a} / / \vec{b}$ ”的（）

A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3} - 2$ 成等差数列，则 $a_{5} =$ （）

A、8 B、 $\frac{1}{8}$ C、16 D、 $\frac{1}{16}$

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5. 甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第1名至第5名（没有重名次）. 已知甲、乙均未得到第1名，且乙不是最后一名，则5人的名次排列情况可能有（）

A、27种 B、48种 C、54种 D、72种

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6. 若函数 $f (x) = a x^{2} + x - ln x$ 存在增区间，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - \frac{1}{4})$ B、 $(- \frac{1}{4} ， + \infty)$ C、 $(- \frac{1}{8} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - \frac{1}{8})$

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7. 已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，若PA＝3，AB＝2，BC $= \sqrt{3}$ ，则该三棱锥的外接球的表面积为（）

A、8π B、12π C、16π D、18π

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8. 已知函数 $f (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ 满足对于任意 $x_{1} \in [\frac{1}{2} ， 2]$ ，存在 $x_{2} \in [\frac{1}{2} ， 2]$ ，使得 $f (x_{1}^{2} + 2 x_{1} + a) \leq f (\frac{\ln x_{2}}{x_{2}})$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{\ln 2}{2} - 8 ， + \infty)$ B、 $[\frac{\ln 2}{2} - 8 ， - \frac{5}{4} - 2 \ln 2]$ C、 $(- \infty ， \frac{\ln 2}{2} - 8]$ D、 $(- \infty ， - \frac{5}{4} - 2 \ln 2]$

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二、多选题

9. 若将函数f(x)=cos(2x+ $\frac{π}{12}$ )的图象向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是（）

A、g(x)的最小正周期为π B、g(x)在区间[0， $\frac{π}{2}$ ]上单调递减 C、x= $\frac{π}{12}$ 是函数g(x)的对称轴 D、g(x)在[﹣ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{6}$ ]上的最小值为﹣ $\frac{1}{2}$

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10. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 a_{1} + 3 a_{3} = S_{6}$ ，则以下结论正确的是（）.

A、 $a_{10} = 0$ B、 $S_{10}$ 最小 C、 $S_{7} = S_{12}$ D、 $S_{19} = 0$

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11. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B$ ，截面 $B D E$ 与直线 $P C$ 平行，与 $P A$ 交于点E ，则下列判断正确的是（）

A、E为 $P A$ 的中点 B、 $B D ⊥$ 平面 $P A C$ C、 $P B$ 与 $C D$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ D、三棱锥 $C - B D E$ 与四棱锥 $P - A B C D$ 的体积之比等于 $1 ： 4$ .

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12. 已知函数 $f (x) = e^{x} \cdot x^{3}$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增 B、 $f (\log_{5} 2) < f (e^{- \frac{1}{2}}) < f (\ln π)$ C、方程 $f (x) = - 1$ 有实数解 D、存在实数 $k$ ，使得方程 $f (x) = k x$ 有 $4$ 个实数解

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三、填空题

13. 已知 $α$ 、 $β$ 为锐角， $\tan α = \frac{4}{3}$ ， $\cos (α + β) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $\tan β =$

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14. 在 ${(x^{2} - 2 x - 3)}^{4}$ 的展开式中，含 $x^{6}$ 的项的系数是．

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15. 如图，在底面半径为1，高为 $\sqrt{3}$ 的圆锥中， $O$ 是底面圆心， $P$ 为圆锥顶点， $A$ ， $B$ 是底面圆周上的两点， $∠ A O B = \frac{2 π}{3}$ ， $C$ 为母线 $P B$ 的中点，则在该圆锥的侧面上，从 $A$ 到 $C$ 的最短路径的长是.

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16. 关于 $x$ 的方程 $g (x) = t (t \in R)$ 的实根个数记为 $f (t)$ .若 $g (x) = \ln x$ ，则 $f (t)$ =；若 $g (x) = {\begin{array}{l} x ， x \leq 0 ， \\ - x^{2} + 2 a x + a ， x > 0 ， \end{array}$ $(a \in R)$ ，存在 $t$ 使得 $f (t + 2) > f (t)$ 成立，则 $a$ 的取值范围是

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四、解答题

17. 在① $∠ A = \frac{π}{6}$ ，② $S_{△ A B D} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ，③ $\cos ∠ A B D = - \frac{1}{2}$ 三个条件中任选一个，补充在以下问题的横线上，并解答.
问题：在平面四边形 $A B C D$ 中，已知 $A B = B C = C D = 1$ ， $A D = \sqrt{3}$ ，且满足________.

(1)、求 $\sin ∠ B D C$ 的值；

(2)、求平面四边形 $A B C D$ 的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} = \frac{n^{2}}{2} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式：

(2)、设 $b_{n} = a_{n} a_{n + 1}$ ， $S_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前n项和，求 $S_{n}$ ．

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19. 如图，底面 $A B C D$ 是边长为3的正方形， $D E$ ⊥平面 $A B C D$ ， $C F$ ∥ $D E$ ， $D E = 3 C F$ ， $B E$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为45°．

(1)、求证：平面 $A C E$ ⊥平面 $B D E$ ；

(2)、求二面角 $F - B E - D$ 的余弦值．

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20. 某省数学学会为选拔一批学生代表该省参加全国高中数学联赛，在省内组织了一次预选赛，该省各校学生均可报名参加.现从所有参赛学生中随机抽取100人的成绩进行统计，发现这100名学生中本次预选赛成绩优秀的男、女生人数之比为4：1，成绩一般的男、女生人数之比为8：7.已知从这100名学生中随机抽取一名学生，抽到男生的概率是0.6

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ；

临界值表供参考：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.100	0.050	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

(1)、请将下表补充完整，并判断是否有95%的把握认为在本次预选赛中学生的成绩优秀与性别有关？

	成绩优秀	成绩一般	总计
男生
女生
总计			100

(2)、以样本估计总体，视样本频率为相应事件发生的概率，从所有本次预选赛成绩优秀的学生中随机抽取3人代表该省参加全国联赛，记抽到的女生人数为

X

，求随机变量

X

的分布列及数学期望.

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21. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右两个焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，短轴长为2．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、如图，点A为椭圆上一动点 $($ 非长轴端点 $)$ ， $A F_{2}$ 的延长线与椭圆交于B点，AO的延长线与椭圆交于C点，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = (x + 1) \ln x + m x$ ， $g (x) = | \frac{f (x)}{x e^{x}} |$ .

(1)、若 $m = - 2$ ，求证：当 $x > 1$ 时， $f (x) > - 2$ ；

(2)、若函数 $g (x)$ 在 $[1 ， e]$ 上单调递减，求实数 $m$ 的取值范围.

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