福建省闽江口联盟校2020-2021学年年高三上学期数学10月月考试卷

试卷更新日期：2021-09-29 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 命题 $p ： \forall x > 0 ， e^{x} > 1$ ，则命题 $p$ 的否定是（）

A、 $p ： \forall x > 0 ， e^{x} \leq 1$ B、 $p ： \forall x \leq 0 ， e^{x} \leq 1$ C、 $p ： \exists x_{0} > 0 ， e^{x_{0}} \leq 1$ D、 $p ： \exists x_{0} \leq 0 ， e^{x_{0}} \leq 1$

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2. 函数 $f (x) = \sqrt{2 x + 1} + \frac{1}{x}$ 的定义域为（）

A、 $(- \frac{1}{2} ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ B、 $(- \frac{1}{2} ， 0)$ C、 $[- \frac{1}{2} ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ D、 $[- \frac{1}{2} ， + \infty)$

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3. 设集合 $A = {x | x > 3}$ ， $B = {x | \log_{3} (x - a) > 0}$ ，则 $a = 3$ 是 $B \subseteq A$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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4. 设 $a = {0.7}^{- 0.5}$ ， $b = {log}_{0.5}^{0.7}$ ， $c = {log}_{0.7}^{5}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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5. 函数 $y = \log_{2} | x |$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. $\sin 155 ° \sin 55 ° - \cos 25 ° \cos 125 ° =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 为得到函数 $f (x) = \sin 2 x$ 的图象，可将函数 $g (x) = \sin (2 x - \frac{π}{4})$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度

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8. 已知 $\cos (π - α) = \frac{3}{5}$ ，则 $\sin (\frac{3 π}{2} - α)$ 的值为（）

A、 $\pm \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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二、多选题

9. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（）

A、 $y = x$ 和 $y = \sqrt[3]{x^{3}}$ B、 $y = x^{0}$ 和 $y = 1$ C、 $f (x) = x$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ D、 $f (x) = \frac{{(\sqrt{x})}^{2}}{x}$ 和 $g (x) = \frac{x}{{(\sqrt{x})}^{2}}$

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10. 设函数 $f (x) = \cos (x + \frac{π}{6})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的一个周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = - \frac{π}{6}$ 对称 C、 $f (x + \frac{π}{3})$ 的一个零点为 $π$ D、 $f (x)$ 在 $(\frac{2 π}{3} ， π)$ 上单调递减

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11. 若幂函数 $y = f (x)$ 的图象经过点 $(27 ， 3)$ ，则幂函数 $f (x)$ 在定义域上是（）

A、奇函数 B、偶函数 C、增函数 D、减函数

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12. 将函数 $f (x) = \sin (2 x + φ)$ ( $0 < φ < π$ )的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后得到函数 $g (x) = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、 $φ = \frac{π}{3}$ B、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 成中心对称 D、函数 $f (x)$ 的一个单调递减区间为 $[- \frac{π}{12} ， \frac{5 π}{12}]$

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三、填空题

13. 在平面直角坐标系中，已知一个角 $α$ 的顶点在坐标原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (5 ， - 12)$ ，则 $\sin 2 α =$ .

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14. 已知 $\tan (π + α) = - \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{\sqrt{2} \cos (α + \frac{π}{4})}{\cos α + \sin α} =$

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{3} (x + 1) - 2, & x \geq 0 \\ f (x + 3), & x < 0 \end{array}$ ，则 $f (- 2020) =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x \cos x - \cos^{2} x - \frac{1}{2}$ ， $x \in R$ ，则函数 $f (x)$ 的最小值为，函数 $f (x)$ 的递增区间为.

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四、解答题

17. 已知全集为 $R$ ，集合 $A = {x | x^{2} - 5 x + 6 \geq 0}$ ，集合 $B = {x | | x + 1 | < 3}$ ．求：

(1)、 $A \cup B$ ；

(2)、 $(∁_{R} A) \cap B$ ．

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18. 计算：

(1)、 ${(2 \frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}} - {(- 2020)}^{0} - {(\frac{27}{8})}^{- \frac{2}{3}} + {1.5}^{- 2}$

(2)、 $\log_{3} \frac{\sqrt[4]{27}}{3} + \lg 25 + \lg 4 + 7^{\log_{7} 2} + \log_{2} 3 \times \log_{3} 4$ ．

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19. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + ϕ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| ϕ | < \frac{π}{2}$ ）部分图象如图．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期及解析式；

(2)、设 $g (x) = f (x) - \cos 2 x$ ，求函数 $g (x)$ 在区间 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 上的单调性．

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20. 已知函数 $f (x) = 4 \cos x \sin (x + \frac{π}{6}) - 1$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调区间；

(2)、用五点法作出其简图；

(3)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{4}]$ 上最大值和最小值．

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21. 已知 $a ， b ， c$ 分别是内角 $A ， B ， C$ 的对边，且满足 $(a + b + c) (\sin B + \sin C - \sin A) = 3 b \sin C$

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $Δ A B C$ 的面积为 $\frac{3}{2}$ ， $a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $Δ A B C$ 的周长．

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22. 已知函数 $g (x) = a x^{2} - 2 a x + 1 + b$ （ $a > 0$ ）在区间 $[2 ， 3]$ 上的最大值为4，最小值为1，记 $f (x) = g (| x |)$ ．

(1)、求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若不等式 $f (\log_{2} k) > f (2)$ 成立，求实数的取值范围．

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