安徽省宣城市郎溪县2021届理数高考仿真模拟考试试卷

试卷更新日期：2021-09-29 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = | 2 + i |$ ，则复数 $z$ 的虚部是（）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{5}}{2} i$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2} i$

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2. 设集合 $A = {x | x < 2$ 或 $x > 3}, B = {x | e^{x - 1} - 1 < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- 2, 1)$ C、 $(2, 1)$ D、 $(3, + \infty)$

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3. 数列 $1 ， \frac{1}{1 + 2} ， \frac{1}{1 + 2 + 3} ， \dots \frac{1}{1 + 2 + 3 + \dots + n} ， \dots$ 的前n项和为（）

A、 $\frac{n}{n + 1}$ B、 $\frac{2 n}{n + 1}$ C、 $\frac{4 n}{n + 1}$ D、 $\frac{n}{2 (n + 1)}$

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4. 执行如图所示的程序框图，则输出 $k$ 的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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5. 函数 $f (x) = \frac{\sin x}{\ln (x^{2} + 1)}$ 的大致图像是（）．

A、 B、 C、 D、

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6. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若 $\vec{B C} = \vec{a} ， \vec{B A} = \vec{b} ， \vec{B E} =$ $3 \vec{E F}$ ，则 $\vec{B F} =$ （）

A、 $\frac{12}{25} \vec{a} + \frac{9}{25} \vec{b}$ B、 $\frac{16}{25} \vec{a} + \frac{12}{25} \vec{b}$ C、 $\frac{4}{5} \vec{a} + \frac{3}{5} \vec{b}$ D、 $\frac{3}{5} \vec{a} + \frac{4}{5} \vec{b}$

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7. 1904年，瑞典数学家柯克构造了一种曲线，取一个正三角形，在每个边以中间的 $\frac{1}{3}$ 部分为一边，向外凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的 $\frac{1}{3}$ 部分擦掉，就成了一个很像雪花的六角星，如图所示．现在向圆中均匀的散落1000粒豆子，则落在六角星中的豆子数约为（）（ $π \approx 3$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

A、577 B、537 C、481 D、331

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8. $(x - 1) \cdot {(\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为（）

A、48 B、54 C、60 D、72

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9. 在菱形 $A B C D$ 中， $A = \frac{π}{3}$ ， $A B = 4 \sqrt{3}$ ，将△ $A B D$ 沿 $B D$ 折起到△ $P B D$ 的位置，二面角 $P - B D - C$ 的大小为 $\frac{2 π}{3}$ ，则三棱锥 $P - B C D$ 的外接球的表面积为（）

A、 $2 \sqrt{3} π$ B、 $2 \sqrt{7} π$ C、72π D、112π

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10. 设曲线 $x = \sqrt{1 - {(1 - y)}^{2}}$ 上的点到直线 $x - y - 2 = 0$ 的距离的最大值为a ，最小值为b ，则 $a - b$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2} + 1$ D、2

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右顶点分别是 $A$ ， $B$ ，右焦点为 $F$ ，点 $P$ 在过 $F$ 且垂直于 $x$ 轴的直线 $l$ 上，当 $△ A B P$ 的外接圆面积达到最小时，点 $P$ 恰好在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ C、 $y = \pm x$ D、 $y = \pm \sqrt{2} x$

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12. 已知四面体 $A B C D$ 的所有棱长均为 $\sqrt{2}$ ， $M$ ， $N$ 分别为棱 $A D$ ， $B C$ 的中点， $F$ 为棱 $A B$ 上异于 $A$ ， $B$ 的动点．有下列结论：
①线段 $M N$ 的长度为1；②若点 $G$ 为线段 $M N$ 上的动点，则无论点 $F$ 与 $G$ 如何运动，直线 $F G$ 与直线 $C D$ 都是异面直线；③ $∠ M F N$ 的余弦值的取值范围为 $[0 ， \frac{\sqrt{5}}{5})$ ；④ $△ F M N$ 周长的最小值为 $\sqrt{2} + 1$ ．其中正确结论的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 设 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 1 ⩽ x ⩽ 3 \\ 1 ⩽ y ⩽ 3 \end{array}$ ，且 $z = a x + b y (a > 0 ， b > 0)$ 的最大值为3，则 $a b$ 的最大值为.

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14. 已知可导函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + \infty)$ ，满足 $x f^{'} (x) - 2 f (x) < 0$ ，且 $f (2) = 4$ ，则不等式 $f (2^{x}) > 4^{x}$ 的解集是．

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15. 过抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点，且 $A ， B$ 两点在准线上的射影分别为 $M ， N$ ， $\frac{S_{△ M F N}}{S_{△ A F M}} = λ ， \frac{S_{△ B F N}}{S_{△ M F N}} = μ$ ，则 $\frac{λ}{μ} =$ .

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} - a_{n} \in {a_{1} ， a_{2} ， \dots ， a_{n}} (n \in N^{*})$ ，记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若对所有满足条件的列数 ${a_{n}}$ ， $S_{10}$ 的最大值为 $M$ ，最小值为 $m$ ，则 $M + m =$ .

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x \cos x - 3 \cos^{2} x + 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别 $a ， b ， c$ .若 $f (C) = 1 ， c = \sqrt{3}$ ， $D$ 为 $A B$ 的中点，求 $C D$ 的最大值.

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18. 如图，在四棱锥 $A - B C F E$ 中，四边形 $E F C B$ 为梯形， $E F / / B C$ ，且 $E F = \frac{3}{4} B C$ ， $Δ A B C$ 是边长为2的正三角形，顶点 $F$ 在 $A C$ 上的射影为点 $G$ ，且 $F G = \sqrt{3}$ ， $C F = \frac{\sqrt{21}}{2}$ ， $B F = \frac{5}{2}$ .

(1)、证明：平面 $F G B ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求二面角 $E - A B - F$ 的余弦值.

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19. 公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫 $(D e m e r e)$ 向另一位著名的数学家帕斯卡 $(B . P a s c a l)$ 提请了一个问题，帕斯卡和费马 $(F e r m a t)$ 讨论了这个问题，后来惠更斯 $(C . H u y g e n s)$ 也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢 $k (k > 1 ， k \in N^{*})$ 局，谁便赢得全部赌注 $a$ 元.每局甲赢的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，乙赢的概率为 $1 - p$ ，且每局赌博相互独立.在甲赢了 $m (m < k)$ 局，乙赢了 $n (n < k)$ 局时，赌博意外终止赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢 $k$ 局则赌博意外终止的情况，甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比 $P_{甲} ： P_{乙}$ 分配赌注.

(1)、甲、乙赌博意外终止，若 $a = 243 ， k = 4 ， m = 2 ， n = 1 ， p = \frac{2}{3}$ ，则甲应分得多少赌注？

(2)、记事件 $A$ 为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当 $k = 4 ， m = 2 ， n = 1$ 时赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率 $f (p)$ ，并判断当 $p \geq \frac{4}{5}$ 时，事件 $A$ 是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 过点 $(2 ， - 1)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，抛物线 $y^{2} = - 16 x$ 的准线 $l$ 交 $x$ 轴于点 $A$ ，过点 $A$ 作直线交椭圆 $C$ 于 $M$ ， $N$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程和点 $A$ 的坐标；

(2)、设 $P$ ， $Q$ 是直线 $l$ 上关于 $x$ 轴对称的两点，问：直线 $P M$ 与 $Q N$ 的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由．

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21. 已知函数 $f (x) = x \cdot e^{a x - 1}$ ( $a \in R$ ).

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性

(2)、若函数 $f (x)$ 的图像经过点 $(1 ， 1)$ ，求证： $\frac{1}{x \cdot e^{x}} + \ln f (x) \geq 0$ ( $x > 0$ ).

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A$ 是曲线 $C_{1} : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 上的动点，满足 $2 \vec{O B} = \vec{O A}$ 的点 $B$ 的轨迹是 $C_{2}$ .

(1)、以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、直线 $l$ 的参数方程是 ${\begin{array}{l} x = - 1 + t \cos α \\ y = t \sin α \end{array}$ ( $t$ 为参数)，点 $P$ 的直角坐标是 $(- 1, 0)$ ，若直线 $l$ 与曲线 $C_{2}$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，当 $| P M | \cdot | P N | = | M N |^{2}$ 时，求 $\cos α$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 2 | + | 2 x - 1 |$ ， $g (x) = | x + 1 | + | 4 x - 2 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \geq 4$ 的解集；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $2 f (x) - g (x) \geq a | x |$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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