安徽省皖南八校2020-2021学年高三上学期理数第二次联考试卷

试卷更新日期：2021-09-29 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ ， $B = {x | x^{2} + 2 x < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、{-1} B、 ${- 1 ， 0}$ C、 ${- 2 ， - 1 ， 0}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1}$

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2. 数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Kronecker，1823-1891）说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”．设i为虚数单位，复数 $z (2 - i) = 4 + 3 i$ ，则z的共轭复数是（）

A、 $2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $1 - 2 i$ D、 $1 + 2 i$

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3. 已知双曲线的渐近线方程是 $\sqrt{3} x \pm y = 0$ ，且与椭圆 $x^{2} + 2 y^{2} = 8$ 有共同焦点，则双曲线的方程为（）

A、 $2 x^{2} - \frac{2 y^{2}}{3} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

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4. 若 ${a_{n}}$ 是公比为e的正项等比数列，则 ${\ln a_{3 n - 1}}$ 是（）

A、公比为 $e^{3}$ 的等比数列 B、公比为3的等比数列 C、公差为3e的等差数列 D、公差为3的等差数列

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5. $A (6 ， 13)$ 和 $B (12 ， 11)$ 是平面上圆C上两点，过A，B两点作圆C的切线交于x轴上同一点，则圆C的面积为（）

A、 $\frac{83 π}{8}$ B、 $\frac{21 π}{2}$ C、 $\frac{85 π}{8}$ D、 $\frac{43 π}{4}$

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6. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是边长为1的正方形， $P A = 1$ ．过 $B D$ 作与侧棱 $P C$ 垂直的平面 $B D E$ ，交 $P C$ 于点E．则 $C E$ 的长为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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7. 已知正实数a，b，满足 $a > b$ ，则（）

A、 $\ln (a - b + 1) < 0$ B、 $π^{a - b} < 3^{a - b}$ C、 $a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}$ D、 $a - \frac{1}{a} > b - \frac{1}{b}$

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8. 魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为 $π$ ∶4．在某一球内任意取一点，则此点取自球的一个内接正方体的“牟合方盖”的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{9 π}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{9}$

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9. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $M (x ， y)$ 为阴影区域内的动点（不包括边界），这里 $| x | < π ， | y | < π$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A、 $\sin (x - y) > 0$ B、 $\sin (x - y) < 0$ C、 $\cos (x - y) > 0$ D、 $\cos (x - y) < 0$

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10. 设正实数a，b，c，满足 $e^{2 a} = b \ln b = c e^{c} = 2$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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11. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，如果 $\forall n \in N^{*}$ 都有 $S_{n} = \frac{1}{2} (a_{n} + \frac{1}{a_{n}})$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} + S_{n} = \frac{9}{2} ， n \in N^{*}$ ，数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = b_{n} b_{n + 1} b_{n + 2} ， n \in N^{*}$ ．设 $T_{n}$ 为 ${c_{n}}$ 的前n项和，则当 $T_{n}$ 取得最大值时，n的值等于（）

A、17 B、18 C、19 D、20

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12. 已知直线 $y = a (x - 1) (a > 0)$ 与曲线 $f (x) = \cos x (x \in (- π ， π))$ 相切于点A、与曲线的另一交点为B，若A、B两点对应的横坐标分别为 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则 $(1 - x_{1}) \tan x_{1} =$ （）

A、-1 B、2 C、1 D、-2

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二、填空题

13. 已知角 $α + \frac{π}{6}$ 的终边与单位圆交于点 $P (- \frac{4}{5} ， \frac{3}{5})$ ，则 $\cos (2 α - \frac{π}{6})$ 的值为．

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14. 若 ${(x^{2} + \frac{1}{x})}^{n}$ 展开式的各项系数之和为32，则展开式中的含 $x^{4}$ 项的系数为．（用数字作答）．

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15. 如图所示，已知M，N为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上关于原点对称的两点，点M与点Q关于x轴对称， $\vec{M E} = \frac{25}{16} \vec{M Q}$ ，直线 $N E$ 交双曲线右支于点P，若 $∠ N M P = \frac{π}{2}$ ，则 $e =$ ．

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16. 已知 $\vec{a} = (x ， 0) (x > 0)$ ， $\vec{b} = (1 ， 0)$ ，若 $\sqrt{{| \vec{a} |}^{2} - {| \vec{b} |}^{2}} + \sqrt{| \vec{a} - \vec{b} |} = | \vec{a} | \sqrt{| \vec{a} |}$ ，则 $\vec{a} =$ ．

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三、解答题

17. 已知三角形 $A B C$ 三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $b \sin A = 2 \sqrt{3} a \cos^{2} \frac{A + C}{2}$ ．

(1)、求角B；

(2)、若 $A = \frac{π}{4}$ ，角B的平分线交 $A C$ 于点D， $C D = 2$ ，求 $S_{△ B C D}$ ．

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18. 8月10日，2020年《财富》世界500强排行榜正式发布．中国大陆（含香港）公司数量达到124家，历史上第一次超过美国（121家）.2008年中国加入世贸组织时中国大陆进入世界500强的企业12家，以后逐年增加，以下是2016——2020年（年份代码依次为1，2，3，4，5）中国大陆进入世界500强的企业数量．

年份代码x

1

2

3

4

5

进入500强的企业数理y

103

109

111

119

124

参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} y_{i} = 566$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 1750$ ．

参考公式：回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

(1)、已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的回归方程．并预测2021年中国大陆进入世界500强的企业数量，结果取整；

(2)、2020年《财富》榜单显示共有7家互联网公司上榜，中国大陆4家、美国3家．现某财经杂志计划从这7家公司中随机选取3家进行深度报道，记选取的3家公司中，中国大陆公司个数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列与期望．

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19. 如图，正方形 $A D E F$ 与梯形 $A B C D$ 所在的平面互相垂直， $A D ⊥ C D ， A B / / C D$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} C D = 2$ ，点 $M$ 是线段 $E C$ 的中点.

(1)、求证： $B M / /$ 面 $A D E F$ ；

(2)、求平面 $B D M$ 与平面 $A B F$ 所成锐二面角的余弦值.

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20. 已知函数 $f (x) = (\frac{1}{x} - x + m) \cdot e^{- x} (m \in R)$ ．

(1)、求证：当 $m = 0$ 时，函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 内单调递减；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(1 ， 2)$ 内有且只有一个极值点，求m的取值范围．

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21. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，点P为y轴左侧一点，A，B为抛物线C上两点，当直线 $A B$ 过抛物线C焦点F且垂直于x轴时， $△ A O B$ 面积为2．

(1)、求抛物线C标准方程；

(2)、若直线 $P A ， P B$ 为抛物线C的两条切线，设 $△ P A B$ 的外心为M（点M不与焦点F重合），求 $\sin ∠ P F M$ 的所有可能取值．

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22. 已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + 2 \cos α \\ y = 2 \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数）以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $ρ (\sin θ + \cos θ) = 1$ ．

(1)、求圆C普通方程和直线l直角坐标方程；

(2)、点P极坐标为 $(1, \frac{π}{2})$ ，设直线l与圆C的交点为A，B两点A，B中点为Q，求线段 $P Q$ 的长．

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23. 已知 $x > 0 ， y > 0 ， \sqrt{x} + \sqrt{y} = 2$ ，证明：

(1)、 $x^{2} + y^{2} \geq 2$ ；

(2)、 $\frac{x}{\sqrt{x} + 1} + \frac{y}{\sqrt{y} + 1} ⩾ 1$ ．

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年份代码x	1	2	3	4	5
进入500强的企业数理y	103	109	111	119	124