安徽省淮北市2021届高三理数一模试卷

试卷更新日期：2021-09-29 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则 $∁_{U} (A \cup B) =$ （）

A、{−2，3} B、{−2，2，3} C、{−2，−1，0，3} D、{−2，−1，0，2，3}

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2. 若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，且 $a_{1} = \frac{π}{6}$ ， $a_{3} = \frac{π}{2}$ ，则 $\cos a_{20} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 函数 $f (x) = (\frac{2}{1 + e^{x}} - 1) \sin x$ 的部分图象大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知平面 $α$ ， $β$ ，直线l，m，且有 $l ⊥ α$ ， $m \subset β$ ，给出下列命题：①若 $α // β$ ，则 $l ⊥ m$ ；②若 $l // m$ ，则 $α ⊥ β$ ；③若 $α ⊥ β$ ，则 $l // m$ ；④若 $l ⊥ m$ ，则 $α // β$ .其中正确命题的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 在 $△ A B C$ 中，点D是线段 $B C$ (不包括端点)上的动点，若 $\vec{A B} = x \vec{A C} + y \vec{A D}$ ，则（）

A、 $x > 1$ B、 $y > 1$ C、 $x + y > 1$ D、 $x y > 1$

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6. 某地气象局把当地某月(共30天)每一天的最低气温作了统计，并绘制了如下图所示的统计图.记这组数据的众数为M，中位数为N，平均数为P，则（）

A、 $M < N < P$ B、 $N < M < P$ C、 $P < M = N$ D、 $P < N < M$

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7. 若i为虚数单位，复数z满足 $| z + \sqrt{3} + i | \leq \sqrt{3}$ ，则 $| z - 2 i |$ 的最大值为（）

A、2 B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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8. 甲､乙､丙三人从红､黄､蓝三种颜色的帽子中各选一顶戴在头上，各人帽子的颜色互不相同，乙比戴蓝帽的人年龄大，丙和戴红帽的人年龄不同，戴红帽的人比甲年龄小，则甲､乙､丙所戴帽子的颜色分别为（）

A、红､黄､蓝 B、黄､红､蓝 C、蓝､红､黄 D、蓝､黄､红

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9. 过圆 $x^{2} + y^{2} = 16$ 上的动点作圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 4$ 的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆 $C$ 内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为（）

A、π B、 $\frac{3 π}{2}$ C、2π D、3π

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x e^{x + 1} ， x \leq 0 \\ e x \ln x ， x > 0 \end{array}$ ，则函数 $g (x) = | f (x) | - 1$ 零点的个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点为F，左顶点为A，直线 $y = k x$ 交双曲线于P､Q两点(P在第一象限)，直线 $P A$ 与线段 $F Q$ 交于点B，若 $F B = 2 B Q$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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12. 函数 $f (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{4}) + \cos 2 x$ 的最大值为（）

A、 $1 + \sqrt{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、3

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二、填空题

13. 若x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y \geq 0 \\ 2 x + y - 6 \leq 0 \\ y + 2 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + 3 y$ 的最大值为.

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14. 二项式 ${(\sqrt[3]{x} - \frac{2}{x})}^{8}$ 的展开式中的常数项为．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n$ ，若 $b_{n} = {(- 1)}^{n} \frac{2 n + 1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和为.

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16. 在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是 $C D$ 的中点， $F$ 是 $C C_{1}$ 上的动点，则三棱锥 $A - D E F$ 外接球表面积的最小值为.

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $b \sin A = a \cos (B + \frac{π}{6})$ .

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $b = 1$ ， $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积

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18. 如图，在多面体 $A B C D E F G$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为 $3$ 的正方形， $E G // A D$ ， $D C // F G$ ，且 $E G = A D$ ， $D C = 3 F G$ ， $D G ⊥$ 面 $A B C D$ ， $D G = 2$ ，N为 $E G$ 中点.

(1)、若 $M$ 是 $C F$ 中点，求证： $M N //$ 面 $C D E$ ；

(2)、求二面角 $N - B C - F$ 的正弦值.

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19. 甲､乙两人进行乒乓球比赛，规定比赛进行到有一人比对方多赢2局或打满6局时比赛结束.设甲､乙在每局比赛中获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，各局比赛相互独立，用X表示比赛结束时的比赛局数

(1)、求比赛结束时甲只获胜一局的概率；

(2)、求X的分布列和数学期望.

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} - x - m x^{2}$ ， $x \in (0 ， + \infty)$ .

(1)、若 $f (x)$ 是增函数，求实数m的取值范围；

(2)、当 $m = 1$ 时，求证： $f (x) > \frac{1}{4}$ .

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21. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左顶点为A，右焦点F， $| A F | = 3$ .过F且斜率存在的直线交椭圆于P，N两点，P关于原点的对称点为M.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设直线 $A M$ ， $A N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，是否存在常数 $λ$ ，使得 $k_{1} = λ k_{2}$ 恒成立？若存在，请求出 $λ$ 的值，若不存在，请说明理由.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{3} \cos α \\ y = \sin α \end{array}$ ( $α$ 为参数).以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ \sin (θ + \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程与曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、设P为曲线 $C_{1}$ 上的动点，求点P到 $C_{2}$ 的距离的最大值，并求此时点P的坐标.

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23. 已知不等式 $| x | + | x - 1 | < x + 4$ 的解集为 $(m, n)$ .

(1)、求m，n的值；

(2)、若 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $(n - 1) x + y + m = 0$ ，求证： $x + y \geq 9 x y$ .

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