山西省长治市2022届高三上学期文数9月质量监测试卷

试卷更新日期：2021-09-29 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 集合 $M = {x | y = \ln (3 - x)}$ ，集合 $N = {x | 2^{x} < 4}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${x | 2 < x < 3}$ } B、 ${x | x \leq 3}$ C、 ${x | x < 3}$ D、 ${x | x < 2}$

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2. 若复数 $z$ 满足 $z i = 2 - i$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $2 i$ B、 $- 2 i$ C、2 D、-2

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3. 命题“ $\forall x \in [0 ， π] ， \sin x \geq 0$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \in [0 ， π] ， \sin x \leq 0$ B、 $\forall x \notin [0 ， π] ， \sin x \geq 0$ C、 $\exists x_{0} \notin [0 ， π] ， \sin x_{0} < 0$ D、 $\exists x_{0} \in [0 ， π] ， \sin x_{0} < 0$

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4. 如图是函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A $>$ 0，ω $>$ 0，|φ| $<$ $\frac{π}{2}$ )的部分图象，则f( $\frac{π}{4}$ )＝（）

A、－ $\sqrt{3}$ B、－1 C、1 D、 $\sqrt{3}$

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5. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、2 D、4

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6. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} y - 2 x - 1 \leq 0 \\ 2 y - x + 1 \geq 0 \\ x + y - 1 \leq 0 \end{array}$ ，则z＝2x＋y的取值范围是（）

A、[－3，1] B、[－3，2] C、[2，＋∞) D、[－3，＋∞)

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7. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{4} x$ B、 $y = \pm \frac{1}{3} x$ C、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ D、 $y = \pm x$

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8. 等比数列{a_n}中，每项均为正数，且a₃a₈＝81，则log₃a₁＋log₃a₂＋…＋log₃a₁₀等于（）

A、5 B、10 C、20 D、40

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9. 往正方形内随机放入n个点，恰有m个点落入正方形的内切圆内，则π的近似值为（）

A、 $\frac{4 m}{n}$ B、 $\frac{m}{4 n}$ C、 $\frac{2 m}{n}$ D、 $\frac{m}{2 n}$

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10. 函数 $f (x) = 2^{x} + {(\frac{1}{2})}^{x}$ ，则满足 $f (x) = f (\frac{x + 2}{x + 3})$ 的所有实数x的和为（）

A、-6 B、6 C、8 D、-8

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11. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用周长为72的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD的四边相切.设椭圆τ在平面直角坐标系中的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，下列选项中满足题意的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{81} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{81} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{64} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{100} = 1$

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12. 函数f(x)＝ $\frac{a}{2 x}$ －1＋lnx，对∀x $>$ 0，f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是（）

A、(－∞，2] B、[2，＋∞) C、(－∞，1] D、[1，＋∞)

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二、填空题

13. 已知平面向量 $\vec{a}$ ＝(2，5)， $\vec{b}$ ＝(λ，2)，若 $\vec{a}$ // $\vec{b}$ ，则λ＝.

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14. 已知直线x－ $\sqrt{3}$ y＋8＝0和圆x²＋y²＝25相交于A，B两点，则|AB|＝.

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15. 已知三棱锥A－BCD中，BC＝CD＝2，BD＝2 $\sqrt{2}$ ，△ABD是等边三角形，平面ABD⊥平面BCD，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为.

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16. 设正项数列{a_n}的前n项和为S_n ，数列{S_n}的前n项之积为T_n ，且S_n＋T_n＝1，则数列{a_n}的通项公式是.

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三、解答题

17. 为了了解某种新型药物对治疗某种疾病的疗效，某机构日前联合医院，进行了小规模的调查，结果显示，相当多的受访者担心使用新药后会有副作用.为了了解使用该种新型药品后是否会引起疲乏症状，该机构随机抽取了某地患有这种疾病的275人进行调查，得到统计数据如表：

	无疲乏症状	有疲乏症状	总计
未使用新药	150	25	t
使用新药	x	y	100
总计	225	m	275

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，n＝a＋b＋c＋d.

$P (K^{2} > k)$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(1)、求2×2列联表中的数据x，y，m，t的值，并确定能否有95%的把握认为有疲乏症状与使用该新药有关；

(2)、从使用该新药的100人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出4人，再从这4人中随机抽取2人做进一步调查，求这2人中恰有1 人有疲乏症状的概率.

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18. 平行四边形ABCD中(图1)，∠A＝60°，AB＝2AD，将△ABD以BD为折痕折起，使得平面 $A^{'}$ BD⊥平面BCD，如图2.

(1)、证明：平面 $A^{'}$ BC⊥平面 $A^{'}$ BD；

(2)、已知AD＝1，点M为线段 $A^{'}$ C的中点，求点C到平面MDB的距离.

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19. 已知函数f(x)＝ $\sqrt{3}$ cos2x－2sin²( $\frac{π}{4}$ ＋x)＋1，x∈R.

(1)、求函数f(x)的单调递减区间；

(2)、在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，且满足 $\sqrt{3}$ a＝2bsinA，B∈(0， $\frac{π}{2}$ )，若关于A的方程f(A)＋m＝1恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围.

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20. 设函数f(x)＝alnx＋ $\frac{2}{\sqrt{x}}$ ，a∈R.

(1)、讨论函数f(x)的单调性；

(2)、当a＝1且x $>$ 1时，证明： $\frac{1}{2}$ x²－x＋3 $>$ f(x).

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21. 已知抛物线C：y²＝2px(p $>$ 0)的焦点为F，且点F与圆M：(x＋4)²＋y²＝1上点的距离的最小值为4.

(1)、求C的方程；

(2)、设点T(1，1)，过点T且斜率存在的两条直线分别交曲线C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{3} cos α \\ y = sin α \end{array}$ ( $α$ 为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，且在两坐标系下取相同的长度单位，建立极坐标系.点P的极坐标为 $(2 ， \frac{π}{4})$ ，直线l经过点P，且与极轴所成角为 $\frac{3 π}{4}$ .

(1)、写出曲线C的普通方程和直线l的以P为定点的标准参数方程；

(2)、设点M为曲线C上的动点，求点M到直线l的距离d的最大值.

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23. 已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|.

(1)、求不等式f(x)≤7的解集；

(2)、若不等式f(x)≥x²＋mx－1的解集包含区间[－1，1]，求实数m的取值范围.

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