吉林省长春市2022届高三上学期理数质量监测试卷（一）

试卷更新日期：2021-09-29 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 4 x < 0}$ ， $B = {x | \log_{3} x > 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(3 ， 4)$ B、 $(1 ， 3)$ C、 $(0 ， 4)$ D、 $(0 ， + \infty)$

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2. 在复平面内，复数 $\frac{1 - i}{2 i}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 下列关于函数 $f (x) = 2 \sin (x - \frac{π}{4})$ 的说法中，正确的是（）

A、函数 $f (x - \frac{π}{4})$ 是奇函数 B、其图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 C、其图象关于点 $(\frac{π}{4} ， 0)$ 对称 D、函数 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 上单调递增

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4. 若双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，则其渐近线方程为（）

A、 $y = \pm 2 x$ B、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ C、 $y = \pm \sqrt{3} x$ D、 $y = \pm \sqrt{5} x$

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5. ${(x^{2} - \frac{1}{x})}^{4}$ 展开式中， $x^{- 1}$ 的系数是（）

A、2 B、-4 C、6 D、-8

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6. 已知 $a = \log_{5} 2$ ， $b = \log_{3} 2$ ， $c = 8^{- \frac{1}{3}}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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7. 若函数 $f (x) = \ln x + x^{2} + a - 1$ 在区间 $(1 ， e)$ 内有零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- e^{2} ， 0)$ B、 $(- e^{2} ， 1)$ C、 $(1 ， e)$ D、 $(1 ， e^{2})$

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8. 给出下列命题：
①若 $△ A B C$ 的三条边所在直线分别交平面 $α$ 于 $P ， Q ， R$ 三点，则 $P ， Q ， R$ 三点共线；②若直线 $a ， b$ 是异面直线，直线 $b ， c$ 是异面直线，则直线 $a ， c$ 是异面直线；③若三条直线 $a ， b ， c$ 两两平行且分别交直线 $l$ 于 $A ， B ， C$ 三点，则这四条直线共面； ④对于三条直线 $a ， b ， c$ ，若 $a ⊥ c$ ， $b ⊥ c$ ，则 $a / / b$ . 其中所有真命题的序号是（）

A、①② B、①③ C、③④ D、②④

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9. 已知 $\sin (α - \frac{π}{3}) + \sqrt{3} \cos α = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin (2 α + \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $- \frac{1}{9}$ D、 $- \frac{7}{9}$

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10. 已知 $M$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上的一点， $F$ 是抛物线的焦点，若以 $F x$ 为始边， $F M$ 为终边的角 $∠ x F M = 60^{\circ}$ ，则 $| F M |$ 等于（）

A、2 B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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11. 医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层. 内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）. 国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率 $x \sim N (0.9372 ， {0.0139}^{2})$ . 若生产状态正常，有如下命题：
甲： $P (x \leq 0.9) < 0.5$ ；

乙： $x$ 的取值在 $(0.93 ， 0.9439)$ 内的概率与在 $(0.9372 ， 0.9511)$ 内的概率相等；

丙： $P (x < 0.9) = P (x > 0.9744)$ ；

丁：记 $ξ$ 表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于 $μ + 2 σ$ 的数量，则 $P (ξ \geq 1) > 0.6$ .

（参考数据：若 $x ~ N (μ ， σ^{2})$ $(σ > 0)$ ，则 $P (μ - σ < x \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < x \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < x \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ； ${0.98}^{50} \approx 0.364$ ）

其中假命题是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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12. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (2 x - 1)$ 是偶函数， $f (x + 1)$ 是奇函数，则下列说法一定正确的有（）
① $f (x - 8) = f (x)$ ； ② $f (1 + x) = - f (1 - x)$ ；③ $f (- 3) = 0$ ； ④ $f (2 + x) = f (2 - x)$

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题

13. 已知 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ， $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | =$ .

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14. 若无穷等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均大于1，且满足 $a_{1} a_{5} = 144$ ， $a_{2} + a_{4} = 30$ ，则公比 $q =$ .

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15. 某公园供游人休息的石凳如图所示，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为 $40 cm$ ，则石凳所对应几何体的表面积为 ${cm}^{2}$ .

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16. 在气象台正西方向300km处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为40km/h，距台风中心250km以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约小时后气象台所在地开始受到影响（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.4$ ， $\sqrt{7} \approx 2.6$ ）.

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三、解答题

17. 水立方、国家体育馆、五棵松体育馆、首都体育馆、国家速滑馆是2022冬奥会的比赛场馆. 现有8名大学生报名参加冬奥会志愿者比赛场馆服务培训，其中1人在水立方培训，3人在国家体育馆培训，4人在五棵松体育馆培训.

(1)、若从中一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆培训，求所抽调的2人来自不同场馆的概率；

(2)、若从中一次抽调3名大学生志愿者到首都体育馆培训，要求这3人中来自水立方的人数和来自国家体育馆的人数都不超过来自五棵松体育馆的人数. 设从五棵松抽出的人数为 $ξ$ ，求随机变量 $ξ$ 的概率分布列及数学期望 $E (ξ)$ .

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18. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{n + 1} = - S_{n} S_{n + 1} (n \in N^{*})$ ， $a_{1} = 1$ .

(1)、求证：数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 是等差数列；

(2)、设 $b_{n} = \frac{2^{n}}{S_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形，△ $P A D$ 是正三角形，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $M$ 是 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $A M ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求二面角 $A - P B - C$ 的正弦值.

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20. 设函数 $f (x) = x^{2} - (a + 2) x + a \ln x (a \in R)$ .

(1)、若 $x = 3$ 是 $f (x)$ 的极值点，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) \geq 1$ ，求 $a$ 的取值范围.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1^{} (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ， $O$ 为坐标原点，点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，且满足 $| \vec{P F_{1}} | = 4$ ， $| \vec{P F_{1}} | | \vec{P F_{2}} | - 2 \vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知过点 $(2 ， 0)$ 且不与 $x$ 轴重合的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M ， N$ 两点，在 $x$ 轴上是否存在定点 $Q$ ，使得 $∠ M Q O = ∠ N Q O$ . 若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，说明理由.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 \cos α \\ y = \sqrt{3} \sin α \end{matrix} (α$ 为参数 $)$ ，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ \cos (θ + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程与直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $M ， N$ 两点，点 $P (2 ， 1)$ ，求 $| P M | + | P N |$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 2 | + | x - a |$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求不等式 $f (x) > 5$ 的解集；

(2)、若 $\forall x \in [1 ， 2]$ ， $f (x) ⩾ | x - 4 |$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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