河南省驻马店市环际大联考“圆梦计划”2021-2022学年高三上学期理数阶段性考试试卷

试卷更新日期：2021-09-29 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知i是虚数单位，则复数 $z = \frac{2 - i^{2021}}{2 + i^{2021}}$ 对应的点所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 设集合 $A = {x | x^{2} - 1 \leq 0}$ ， $B = {x | 1 - 2 x < 0}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 $[- 1, \frac{1}{2}]$ B、 $(- \infty, 1]$ C、 $[\frac{1}{2}, 1]$ D、 $[- 1, + \infty)$

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3. 《九章算术》是中国古代的数学专著，在卷五《商功》重有一问题：今有沟，上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈.问积几何？答曰：四千三百七十尺.意思是说现在有一条水沟，截面是梯形，梯形上底长一丈五尺，下底长一丈，水沟的深为五尺，长七丈.问水沟的容积是多大？答案是4375立方尺.若此沟两坡面坡度相同，某人想给此沟表面铺上水泥进行固定，不计水泥厚度，则需要水泥多少平方尺？(一丈等于十尺)（）

A、4375 B、 $1875 + 350 \sqrt{5}$ C、 $1750 + 350 \sqrt{5}$ D、 $700 + 350 \sqrt{5}$

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4. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则“ $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = | 2 \vec{a} - \vec{b} |$ ”是“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”的（）条件

A、充要 B、必要不充分 C、充分不必要 D、既不充分也不必要

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5. 若 ${(1 + m x)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{6} x^{6}$ ，且 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{6} = 63$ ，则实数m的值为（）

A、1或3 B、-3 C、1 D、1或 -3

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6. 函数 $f (x) = \frac{\sin x \cdot \ln x^{2}}{x}$ 的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知 $3^{a} = 1.6$ ， $8^{b} = 3.9$ ， $c = {(\frac{9}{16})}^{\frac{2}{5}}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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8. 已知函数 $f (x) = x \ln x$ ， $g (x) = x^{2} + a x (a \in R)$ ，直线 $l$ 与 $f (x)$ 的图象相切于点 $A (1 ， 0)$ ，若直线 $l$ 与 $g (x)$ 的图象也相切，则 $a =$ （）

A、0 B、-1 C、3 D、-1或3

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9. 已知 $θ \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，且 $\frac{\cos 2 θ}{\sin (θ - \frac{π}{4})} = - \frac{7 \sqrt{2}}{5}$ ，则 $\tan 2 θ =$ （）．

A、 $\frac{7}{24}$ B、 $\frac{24}{7}$ C、 $\pm \frac{7}{24}$ D、 $\pm \frac{24}{7}$

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10. 设抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，直线 $l$ ： $x = - 2$ ，P为抛物线上一点， $P M ⊥ l$ ，M为垂足，如果直线MF的斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，那么 $| P F |$ 等于（）

A、 $\frac{15}{4}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $\frac{7}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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11. 过点 $M (0 ， - 4)$ 作直线 $l$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + 6 = 0$ 相切于 $A$ 、 $B$ 两点，则直线 $A B$ 的方程为（）

A、 $2 x - y + 3 = 0$ B、 $x - 7 y + 18 = 0$ C、 $2 x - 5 y + 5 = 0$ D、 $2 x + 5 y + 5 = 0$

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12. 三棱锥 $S - A B C$ 的各个顶点都在球 $O$ 的表面上，且 $△ A B C$ 是等边三角形， $S A ⊥$ 底面 $A B C$ ， $S A = 4$ ， $A B = 6$ .若点 $D$ 在线段SA上，且 $A D = 3 S D$ ，则过点 $D$ 的平面截球 $O$ 所得截面的最小面积为（）

A、3π B、4π C、8π D、13π

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二、填空题

13. 为做好新冠肺炎疫情防控工作，各地政府要求特殊时期，人员居家隔离，减少交叉感染，一些社区还安排工作人员每天上门为居民测量体温．已知某社区安排5名工作人员到三个小区开展居民体温的测量工作，每个小区至少安排1名工作人员，则不同的安排方法有种．

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14. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{4}{3} x$ ，则双曲线的离心率 $e =$ ．

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15. 已知四边形 $A B C D$ 为长方形， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ， $O$ 为 $A B$ 的中点，在长方形 $A B C D$ 内随机取一点 $P$ ，则使得点 $P$ 到 $O$ 点的距离大于1的概率为 .

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16. 设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，满足 $S_{1} = 1$ ， $S_{n + 1} = \frac{n}{n + 2} S_{n}$ ，其中 $n \in N^{*}$ ，数列 ${S_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，则 $T_{20} =$ .

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，请在① $S = \frac{\sqrt{3}}{4} (b^{2} + c^{2} - a^{2})$ ；② $2 b \sin A \cos B = (2 c - b) \sin B$ 两个条件中，选择一个完成下列问题：

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长 $l$ 的取值范围.

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18. 如图所示的几何体，其底面 $A B C D$ 是直角梯形， $∠ A D C = 90 °$ ， $A D / / B C$ ， $A D = C D = 1$ ， $B C = 2$ ， $S A ⊥$ 底面 $A B C D$ .

(1)、若 $S A = 1$ ，求直线 $A B$ 与平面 $S B C$ 的夹角 $α$ ；

(2)、若 $S A = a$ ，求平面 $S A B$ 与平面 $S D C$ 所成二面角的余弦值与 $a$ 的关系，并求出余弦值的取值范围.

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19. 某校数学教研组，为更好地提高该校高三学生《圆锥曲线》的选填题的得分率，对学生《圆锥曲线》的选填题的训练运用最新的教育技术做了更好的创新，其学校教务处为了检测其质量指标，从中抽取了100名学生的训练成绩(总分50分)，经统计质量指标得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求所抽取的样本平均数 $\bar{x}$ (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)、将频率视为概率，从该校高三学生中任意抽取4名学生，记这4个学生《圆锥曲线》的选填题的训练的质量指标值位于 $(10 ， 30]$ 内的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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20. 已知函数 $f (x) = 2 x \ln x - a x^{2} - 2 x + a^{2} (a > 0)$ 在其定义域内有两个不同的极值点.

(1)、求a的取值范围；

(2)、设 $f (x)$ 两个极值点分别为x₁ ， x₂ ，证明： $\sqrt{x_{1} \cdot x_{2}} > e$ .

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21. 已知曲线 $C$ 的方程为 $\sqrt{{(x - \sqrt{6})}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x + \sqrt{6})}^{2} + y^{2}} = 2 a (a > \sqrt{6})$ ，过 $(\sqrt{6} ， 0)$ 且与 $x$ 轴垂直的直线被曲线 $C$ 截得的线段长为 $\sqrt{2}$ .

(1)、求曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $A (- 4 ， 0)$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点，已知点 $B (- 2 ， - 1)$ ，直线 $B M$ ， $B N$ 分别交 $x$ 轴于点 $E$ ， $F$ .试问在 $x$ 轴上是否存在一点 $G$ ，使得 $\vec{B E} \cdot \vec{G F} + \vec{G E} \cdot \vec{B F} = 0$ ？若存在，请求出点 $G$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $⊙ C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + 2 \cos α ， \\ y = 2 + 2 \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $\sqrt{2} ρ \cos (θ - \frac{π}{4}) = 2$ ．

(1)、直线 $l$ 上的M到极点O的距离是 $\sqrt{2}$ ，求点M的极坐标 $(θ \in [0 ， 2 π))$ ；

(2)、设直线 $l$ 与 $⊙ C$ 相交于 $A ， B$ 两点，求四边形 $O A C B$ 的面积

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23. 设函数 $f (x) = ∣ 2 x - 1 ∣ ， g (x) = ∣ a x + 1 ∣$ ．

(1)、求不等式 $f (x) ⩽ 1 - x$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x) + g (x) ⩾ 2 x$ 在区间 $(\frac{1}{2} ， 1)$ 上恒成立，求a的取值范围．

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