河南省大联考“顶尖计划”2021-2022学年高三上学期文数第一次考试试卷

试卷更新日期：2021-09-29 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | 2^{x} < e}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $(1 + i^{3}) z = i - 2$ ，则 $z =$ （）

A、 $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ B、 $\frac{3}{2} - \frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$ D、 $- \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i$

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3. 抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的焦点坐标为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2} ， 0)$ C、 $(0 ， \frac{1}{8})$ D、 $(\frac{1}{8} ， 0)$

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4. 设 $α$ ， $β$ 是两个不重合的平面， $m$ ， $n$ 是两条直线，下列命题中，真命题是（）

A、若 $m ⊥ n$ ， $n // β$ ，则 $m ⊥ β$ B、若 $m // α$ ， $m // β$ ，则 $α // β$ C、若 $m ⊥ α$ ， $m // β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $m ⊥ n$ ， $n ⊥ β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ α$

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5. 若 $\frac{\cos 2 α}{\cos α + \sin α} = \cos (π + α)$ ，则 $\tan (\frac{π}{4} - 2 α) =$ （）

A、-7 B、7 C、 $- \frac{1}{7}$ D、 $\frac{1}{7}$

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6. 已知 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x + y - 1 \geq 0 ， \\ x - 2 y - 2 \leq 0 ， \\ 2 x + 3 y - 6 \leq 0 ， \end{array}$ 则 $z = 5 x - 3 y$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{27}{2}$ B、-27 C、8 D、 $\frac{5}{2}$

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7. 若函数 $f (x) = 2^{k \ln (x - 1)} - 4$ $(k \in R)$ 的图象恒经过的定点在直线 $a x - b y - 1 = 0$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）上，则 $\frac{1}{3 a} + \frac{1}{2 b}$ 的最小值是（）

A、 $4 \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{25}{6}$ D、 $\frac{13}{6}$

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8. 某外语学校要求学生从德语和日语中选择一种作为“第二外语”进行学习，为了解选择第二外语的倾向与性别的关系，随机抽取100名学生，得到下面的数据表：

选择德语

选择日语

男生

15

35

女生

30

20

根据表中提供的数据可知（）

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．

$P$ $(K^{2} \geq k_{0})$

0.100

0.050

0.010

0.005

0.001

$k_{0}$

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

A、在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为选择第二外语的倾向与性别无关 B、在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为选择第二外语的倾向与性别有关 C、有99.5%的把握认为选择第二外语的倾向与性别无关 D、有99.5%的把握认为选择第二外语的倾向与性别有关

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9. 如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型，根据图中的规律，第2021行从右至左第1010个数为（）

A、3030 B、 $1010 \times 2021$ C、 $1010 \times 2022$ D、 $2020 \times 2022$

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10. 已知函数 $f (x) = 2 \cos (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{2}$ ）的图象的相邻两条对称轴间的距离为2π， $f (0) = 1$ ．则下列区间中，函数 $f (x)$ 单调递增的区间是（）

A、 $[0 ， 2]$ B、 $[2 ， 4]$ C、 $[4 ， 6]$ D、 $[6 ， 8]$

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11. 已知一个圆锥的母线长为 $2 \sqrt{6}$ ，侧面展开图是圆心角为 $\frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ 的扇形，则该圆锥的外接球的体积为（）

A、36π B、48π C、36 D、 $24 \sqrt{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x - 1$ （ $a \neq 0$ ， $b \in R$ ）存在极大值和极小值，且极大值与极小值互为相反数，则（）

A、 $b = \frac{2 a^{2}}{9} + \frac{3}{a}$ B、 $b = \frac{2 a^{2}}{9} - \frac{3}{a}$ C、 $b = \frac{2 a^{2}}{9} + \frac{1}{a}$ D、 $b = \frac{2 a^{2}}{9} - \frac{1}{a}$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (m ， 1)$ $(m \in R)$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ ．

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14. 已知偶函数 $f (x)$ 和奇函数 $g (x)$ 均定义在 $R$ 上，且满足 $f (x) + g (x) = 3 x^{2} - \frac{4 x}{x^{2} + 9} + 5$ ，则 $f (- 1) + g (3) =$ ．

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15. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的右焦点为 $F$ ，右顶点为 $A$ ，虚轴的一个端点为 $B$ ，若点 $F$ 到直线 $A B$ 的距离为 $\frac{b}{3}$ ，则双曲线的离心率为．

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16. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且 $a^{2} + c^{2} - b^{2} = a c$ ，则 $\sin A \cos C$ 的最大值为．

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三、解答题

17. 记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{n} \neq 0$ ，已知 $a_{1} = 1$ ， $S_{4} = 5 S_{2}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $S_{m} = 43$ ，求 $m$ ．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B = B C = \frac{1}{2} A D$ ， $∠ B A D = ∠ A B C = 90 °$ ， $P A = P D = P C = C D$ ．

（Ⅰ）证明： $B C //$ 平面 $P A D$ ；

（Ⅱ）若 $△ P C D$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求点 $D$ 到平面 $P A B$ 的距离．

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19. 某果园新采摘了一批苹果，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），将重量按照 $[120 ， 140)$ ， $[140 ， 160)$ ， $[160 ， 180)$ ， $[180 ， 200]$ 进行分组，得到频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．

(1)、估计这批苹果的重量的平均数．

(2)、该果园准备把这批苹果销售给一家超市，据市场行情，有两种销售方案：
方案一：所有苹果混在一起，价格为1元/千克；

方案二：将不同重量的苹果分开，重量不小于160克的苹果的价格为1.2元/千克，重量小于160克的苹果的价格为0.8元/千克，但果园需支付每1000个苹果5元的分拣费．

分别估计并比较两种方案下果园销售10000个苹果的收入．

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20. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - x$ ．
（Ⅰ）讨论 $f (x)$ 的单调性；

（Ⅱ）证明：当 $x > 0$ 时， $f (x) - \ln x \geq 1$ ．

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 过点 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，且离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的标准方程；

（Ⅱ）设 $C$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 作直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $\vec{A F_{1}} \cdot \vec{B F_{1}} = \frac{1}{2}$ ，求 $△ A B F_{1}$ 的面积．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \cos α \\ x = \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ (2 \cos^{2} \frac{θ}{2} - \sin θ - 1) = 2$ ，直线 $l$ 与 $x$ ， $y$ 轴的交点分别为 $A$ ， $B$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程和直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、点 $M$ 在曲线 $C$ 上，求 $△ M A B$ 的面积的最大值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 4 | - | x + 2 |$ ．

(1)、解不等式 $f (x) < 3 - 2 x$ ；

(2)、若不等式 $f (x) \leq x^{2} - 2 x + m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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$P$ $(K^{2} \geq k_{0})$	0.100	0.050	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

	选择德语	选择日语
男生	15	35
女生	30	20