河南省2021-2022学年高三上学期理数调研考试试卷（三）

试卷更新日期：2021-09-29 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 复数 $z (3 + i) = | 4 - 3 i |$ ，则 $z =$ （）

A、 $\frac{15}{2} - \frac{5}{2} i$ B、 $\frac{15}{2} + \frac{5}{2} i$ C、 $\frac{3}{2} - \frac{1}{2} i$ D、 $\frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$

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2. 已知集合 $A = {x | 2 x - 1 > 5}$ ， $B = {x | (x - a) (x - a + 1) \geq 0}$ ，若 $A \cup B = R$ ，则a的取值范围是（）

A、 $[4 ， + \infty)$ B、 $[3 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 4]$ D、 $(- \infty ， 3]$

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3. 如果双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ ，我们称该双曲线为黄金分割双曲线，简称为黄金双曲线．现有一黄金双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{\sqrt{5} - 1} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ ，则该黄金双曲线C的虚轴长为（）

A、2 B、4 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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4. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 的夹角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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5. 六氟化硫，化学式为 ${SF}_{6}$ ，在常压下是十种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点．若相邻两个氟原子间的距离为2a，则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的体积是（不计氟原子的大小）（）

A、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3} a^{3}$ B、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} a^{3}$ C、 $4 \sqrt{2} a^{3}$ D、 $8 \sqrt{2} a^{3}$

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6. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (2 x + 2 + \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8})$ ，则下列函数为奇函数的是（）

A、 $f (x - 1) - 1$ B、 $f (x - 1) + 1$ C、 $f (x + 1) - 1$ D、 $f (x + 1) + 1$

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7. 在 ${(x^{3} - \frac{2}{x})}^{7}$ 的展开式中， $x^{5}$ 项的系数是（）

A、280 B、-280 C、560 D、-560

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8. 旅游是人们为寻求精神上的愉快感受而进行的非定居性旅行和游览过程中所发生的一切关系和现象的总和.随着经济生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅游部门从2020年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和旅游方式如图所示，则下列结论正确的是（）

A、估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的中年人的人数少于选择自助游的青年人人数的一半 B、估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的青年人的人数占总游客人数的13.5% C、估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的老年人和中年人的人数之和比选择自助游的青年人多 D、估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的比率为25%

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9. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n} - a_{n - 1} = n$ （ $n \in N_{+}$ ， $n \geq 2$ ），则 $\frac{a_{n} + 1}{n + 1}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、1 D、 $\frac{3}{2}$

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10. 已知函数 $f (x) = 2 \cos (ω x + \frac{π}{3}) - 1$ $(ω > 0)$ ，若函数 $f (x)$ 的三个相邻的零点分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ $(x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，且 $| x_{1} - x_{2} | = λ | x_{2} - x_{3} |$ ，则 $λ =$ （）

A、5 B、5或 $\frac{1}{5}$ C、2 D、2或 $\frac{1}{2}$

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11. 已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的6个顶点全部在球 $O$ 的表面上， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧面积为 $8 + 4 \sqrt{3}$ ，则球 $O$ 表面积的最小值是（）

A、4π B、16π C、 $\frac{16 π}{3}$ D、 $\frac{32 π}{3}$

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12. 设 $a = e^{0.7}$ ， $b = e^{0.8}$ ， $c = 2 ． 4$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 1 ， x < 0 ， \\ \sin x ， x \geq 0 ， \end{array}$ 则 $f (f (\frac{52 π}{3})) =$ ．

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14. 小华、小明、小李小章去A，B，C三个工厂参加社会实践，要求每个工厂都有人去，且这四人都在这三个工厂实践，则小华和小李都没去B工厂的概率是．

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15. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，直线 $l ： x - y - 1 = 0$ 与抛物线C交于A，B两点（其中点A在x轴上方），则 $\frac{| A F |}{| F B |} =$ ．

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16. 数列 ${a_{n}}$ 为1，1，2，1，1，3，1，1，1，1，4，…，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且数列 ${a_{n}}$ 的构造规律如下：首先给出 $a_{1} = 1$ ，接着复制前面为1的项，再添加1的后继数为2，于是 $a_{2} = 1$ ， $a_{3} = 2$ ，然后复制前面为1的项，1，1，再添加2的后继数为3，于是 $a_{4} = 1$ ， $a_{5} = 1$ ， $a_{6} = 3$ ，接下来再复制前面所有为1的项，1，1，1，1，再添加3的后继数为4，…，如此继续.现有下列判断：① $a_{20} = 5$ ；② $S_{20} = 30$ ；③ $a_{1034} = 10$ ；④ $S_{2021} = 2076$ .其中正确的是.

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $(2 b - c) \cos A - a \cos C = 0$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 外接圆面积的最小值．

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18. 如图，在多面体 $A B C D E F$ 中四边形 $A B C D$ 是正方形， $D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $B F ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $D E = 2 B F = 2 A B$ ．

(1)、证明：平面 $A B F / /$ 平面 $C D E$ ．

(2)、求平面 $A B F$ 与平面 $C E F$ 所成锐二面角的余弦值．

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19. 北京冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在中华人民共和国北京市和河北省张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京、张家口同为主办城市，也是中国继北京奥运会、南京青奥会之后第三次举办奥运赛事．北京冬奥组委对报名参加北京冬奥会志愿者的人员开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后进行了一次考核．为了解本次培训活动的效果，从中随机抽取80名志愿者的考核成绩，根据这80名志愿者的考核成绩得到的统计图表如下所示．

女志愿者考核成绩频率分布表

分组	频数	频率
[75，80]	2	0.050
[80，85]	13	0.325
[85，90]	18	0.450
[90，95]	a	m
[95，100]	b	0.075

男志愿者考核成绩频率分布直方图

若参加这次考核的志愿者考核成绩在[90，100]内，则考核等级为优秀．

(1)、分别求这次培训考核等级为优秀的男、女志愿者人数；

(2)、若从样本中考核等级为优秀的志愿者中随机抽取3人进行学习心得分享，记抽到女志愿者的人数为X，求X的分布列及期望．

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且 $| F_{1} F_{2} | = 2$ ，点 $M (\sqrt{3} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ 在椭圆 $C$ 上.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程.

(2)、 $P$ 为椭圆 $C$ 上一点，射线 $P F_{1}$ ， $P F_{2}$ 分别交椭圆 $C$ 于点 $A$ ， $B$ ，试问 $\frac{| P F_{1} |}{| A F_{1} |} + \frac{| P F_{2} |}{| B F_{2} |}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - 2 \ln x - x^{2} + x - 2$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 图象在 $x = 1$ 处的切线方程．

(2)、证明： $f (x) > 0$ ．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 1 + 2 \cos α ， \\ y = 1 + 2 \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $2 ρ \cos θ - ρ \sin θ + 5 = 0$ .

(1)、求直线 $l$ 与曲线 $C$ 的普通方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $P (- 2 ， 1)$ ，求 $| P A | + | P B |$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 2 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \geq 2 x - 1$ 的解集；

(2)、若 $f (x) \leq | x + a | + 1$ ，求 $a$ 的取值范围.

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