广西普通高校2022届高三上学期理数9月摸底考试试卷

试卷更新日期：2021-09-29 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 < x < 3}$ ，则 $A \cap N =$ （）

A、 $[0 ， 3)$ B、 $[1 ， 3)$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${1 ， 2}$

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2. 已知复数 $z = (1 + i) (2 - i)$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 为（）

A、 $- 3 - i$ B、 $- 3 + i$ C、 $3 - i$ D、 $3 + i$

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3. 为了解学生数学能力水平，某市A､B､C､D四所初中分别有200，180，100，120名初三学生参加此次数学调研考试，现制定以下两种卷面分析方案：方案①：C校参加调研考试的学生中有30名数学培优生，从这些培优生的试卷中抽取10份试卷进行分析；方案②：从这600名学生的试卷中抽取一个容量为200的样本进行分析.完成这两种方案宜采用的抽样方法依次是（）

A、分层抽样法､系统抽样法 B、分层抽样法､简单随机抽样法 C、系统抽样法､分层抽样法 D、简单随机抽样法､分层抽样法

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4. 已知向量 $\vec{a} = (- \sqrt{3} ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 0)$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的大小为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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5. 已知各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 的前4项和为15，且 $a_{5} = 3 a_{3} + 4 a_{1}$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、16 B、8 C、4 D、2

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6. 已知圆 $M ： x^{2} + y^{2} - 2 a y = 0 (a > 0)$ 截直线 $x + y = 0$ 所得线段的长度是 $2 \sqrt{2}$ ，则圆 $M$ 与圆 $N ： {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 的位置关系是（）

A、内切 B、相交 C、外切 D、相离

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7. ${(x^{2} + \frac{2}{x})}^{5}$ 的展开式中x⁴的系数为（）

A、10 B、20 C、40 D、80

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8. 函数 $y = x \sin x (- π \leq x \leq π)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、4 C、 $\frac{8}{3}$ D、8

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10. 已知 $M$ 为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）左支上一点， $A$ ， $F$ 分别为双曲线 $C$ 的右顶点和左焦点， $| M A | = | F A |$ ，若 $∠ M F A = 60 °$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、4 C、 $2 \sqrt{3}$ D、6

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11. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 2 x - 5$ ，记 $a = f (\log_{2} 3)$ ， $b = f (\log_{3} \sqrt{2})$ ， $c = f ({0.6}^{0.5})$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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12. 某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 $\frac{2}{3} π$ ，面积为 $\frac{π}{3}$ 的扇形，则该圆锥的外接球的表面积为（）

A、 $\frac{27 \sqrt{2} π}{64}$ B、 $\frac{27 π}{16}$ C、 $\frac{9 π}{8}$ D、 $\frac{3 π}{2}$

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二、填空题

13. 设 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x + y - 2 \geq 0 \\ x - 2 y + 4 \geq 0 \\ x - 1 \leq 0 \end{array}$ ，则目标函数 $z = 3 x - 2 y$ 的最小值为．

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14. 已知tan（α $-$ $\frac{3}{4} π$ ）= $\frac{3}{4}$ ，则tanα=.

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15. 已知数列{a_n}的前n项和S_n＝2ⁿ－1，若b_n＝a_n＋a_n_＋1 ，设数列{b_n}的前n项和为T_n ，则T₁₀＝．

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16. 若函数 $f (x) = (x^{2} - a x + 2) e^{x}$ 在 $R$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中 $， a ， b ， c$ 分别为角 $A ， B ， C$ 的对边，已知 $c = \frac{7}{2} ， △ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2} ，$ 又 $tan A + tan B$ $= \sqrt{3} (tan A tan B - 1) .$

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、求 $a + b$ 的值.

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18. 华为手机作为全球手机销量第二位，一直深受消费者喜欢.惠州某学校学习小组为了研究手机用户购买新手机时选择华为品牌是否与年龄有关系，于是随机调查100个2020年购买新手机的人，得到如下不完整的列联表.定义用户年龄30岁以下为“年轻用户”，30岁以上为“非年轻用户”.

	购买华为	购买其他品牌	总计
年轻用户		28
非年轻用户	24		60
总计			100

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.100	0.050	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	10.828

(1)、请将列联表填充完整，并判断是否至少有90%的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关？

(2)、若从购买华为手机用户中采取分层抽样的方法抽出9人，再从中随机抽取3人，其中年轻用户的人数记为

X

，求

X

的分布列和数学期望.

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19. 如图，四边形 $A B C D$ 与 $B D E F$ 均为菱形， $F A = F C$ ，且 $∠ D A B = ∠ D B F = 60 °$ .

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $B D E F$ ；

(2)、求直线 $A D$ 与平面 $A E F$ 所成角的正弦值.

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20. 已知抛物线C：y²=2px（p>0）的焦点为F，点M为抛物线C上一点，|MF|=8，且∠OFM= $\frac{2 π}{3}$ (O为坐标原点).

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，求△AOB面积的最小值.

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21. 已知a∈R，f '(x)是函数f(x)的导函数，f '(x)＝ $\frac{1}{2}$ x²＋（a－2）x，g(x)＝2alnx．

(1)、若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点（1，c）处的切线互相垂直，求f(x)的解析式；

(2)、设F(x)＝f '(x)－g(x)，若对任意的x₁ ， x₂∈（0，＋∞），且x₁>x₂ ，都有F（x₁）－F（x₂）>a（x₁－x₂），求a的取值范围．

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22. 在直角坐标系xOy中，直线l₁的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + t ， \\ y = k t ， \end{array}$ （t为参数），直线l₂的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 2 + m ， \\ y = \frac{m}{k} ， \end{array} （ m 为参数）$ .设l₁与l₂的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

(1)、写出C的普通方程；

(2)、以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 $l_{3} ： ρ (\cos θ + \sin θ) - \sqrt{2} = 0$ ，M为l₃与C的交点，求M的极径.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - a | + a$ .

(1)、当a=2时，求不等式 $f (x) \leq 6$ 的解集；

(2)、设函数 $g (x) = | 2 x - 1 |$ .当 $x \in R$ 时， $f (x) + g (x) \geq 3$ ，求 $a$ 的取值范围.

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