贵州省部分重点中学2022届高三上学期理数8月联考试试卷

试卷更新日期：2021-09-29 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合A={1，2，3}，B={x∈N|x≤2}，则A∪B=（）

A、{2，3} B、{0，1，2，3} C、{1，2} D、{1，2，3}

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2. $\frac{2 - 4i}{i} =$ （）

A、-4-2i B、-4+2i C、-2-4i D、4-2i

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3. 设a=e^0.01 ， b=log_πe，c=ln $\frac{1}{π}$ ，则（）

A、a>c>b B、a>b>c C、b>a>c D、c>a>b

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4. 《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，立夏当日日影长为2.5尺，则春分当日日影长为（）

A、4.5尺 B、5尺 C、5.5尺 D、6尺

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5. 函数f（x）= $\frac{1}{3}$ x³-3x²+8x- $\frac{13}{3}$ 的极大值点为（）

A、1 B、2 C、4 D、 $\frac{7}{3}$

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6. 象棋，亦作“象暮”､中国象棋，中国传统棋类益智游戏，在中国有着悠久的历史，属于二人对抗性游戏的一种.由于用具简单，趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动.中国象棋是中国棋文化也是中华民族的文化瑰宝.某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”“吃掉”“马”的最短路线中随机选择一条路线，则该路线能顺带“吃掉”“炮”的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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7. 如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=CC₁ ， P是A₁C₁的中点，则异面直线BC与AP所成角的余弦值为（）

A、0 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{10}$

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8. 函数f（x）= $\frac{a x + 1}{x^{2} + 1}$ 的大致图象不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 在 ${(x - \frac{a}{x^{2}})}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数是-10，则 $a =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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10. 函数f（x）= $\sqrt{3}$ sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω>0，|φ|< $\frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则φ=（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、- $\frac{π}{3}$ C、- $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$

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11. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a>0，b>0）的左右焦点分别为F₁ ， F₂ ，直线x-c=0与双曲线C的一个交点为点P，与双曲线C的一条渐近线交于点Q，O为坐标原点，若 $\vec{OP} = \frac{1}{3} \vec{{OF}_{2}} + \frac{2}{3} \vec{OQ}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{3}$

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12. 如图，E是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱DD₁的中点，F是棱B₁C₁上的动点，现有下列命题：①存在点F使得CF⊥EB；②存在点F使得D₁F//BE；③存在点F使得△BEF的正视图和侧视图的面积相等；④四面体EBFC的体积为定值.其中所有正确命题的序号为（）

A、①③④ B、①③ C、③④ D、①②④

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二、填空题

13. 向量 $\vec{a} = (3 ， x)$ ， $\vec{b} = (4 ， 2)$ .若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则x=.

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14. 已知等比数列{a_n}的公比q>0，其前n项和为S_n ，且S₂=6，S₃=14，则a₁=.

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15. 已知实数x，y满足 ${\begin{array}{l} 2 x - y \leq 2 \\ x + y \geq 2 \\ x - y \geq - 1 \end{array}$ ，则z= $\frac{y}{x + 2}$ 的最大值为.

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16. 已知圆C： $x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 16$ ，P是圆C上的动点，若A（0，1），线段PA的垂直平分线与直线PC相交于点Q，则点Q的轨迹方程是；若M（2，1），则|MQ|+|QC|的最大值为.

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三、解答题

17. 三角测量法是在地面上选定一系列的点，并构成相互连接的三角形，由已知的点观察各方向的水平角，再测定起始边长，以此边长为基线，即可推算各点坐标的一种测量方法.在实际测量中遇到高大障碍物的测量，需要跨越时的测量，无法得到平距的测量都需要用到三角测量法.如图，为测量横截面为直角三角形的某模型的平面图△ABC，由于实际情况，Rt△ABC（∠ACB= $\frac{π}{2}$ ）的边和角无法测量，以下为可测量数据：①BD=2；②CD= $\sqrt{3}$ +1；③∠BDC= $\frac{π}{6}$ ；④∠BCD= $\frac{π}{4}$ .以上可测量数据中至少需要几个可以推算出Rt△ABC的面积？请选择一组并写出推算过程.注：若选择不同的组合分别作答，则按第一个作答计分.

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18. 如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，PA=AB=2，PB=PC=2 $\sqrt{2}$ .

(1)、证明：BC⊥PA.

(2)、若 $\vec{P Q} = 2 \vec{Q C}$ ，求二面角B-AQ-C的余弦值.

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19. 数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行､每-列､每一个粗线宫（3×3）内的数字均含1~9，且不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛.

参考公式：对于一组数据 $(u_{1} ， v_{1})$ ， $(u_{2} ， v_{2})$ ，…， $(u_{n} ， v_{n})$ ，其回归直线 $\hat{v} = \hat{α} + \hat{β} u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}} ， \hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$

(1)、赛前小明在某数独

A P P

上进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度

y

（秒/题）与训练天数

x

（天）有关，经统计得到如下数据：

x（天）	1	2	3	4	5	6	7
y（秒/题）	910	800	600	440	300	240	210

现用 $y = a + \frac{b}{x}$ 作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程（ $a$ ， $b$ 用分数表示）.

(2)、小明和小红在数独APP上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存在平局，两人约定先胜3局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为

\frac{2}{3}

，且各局之间相互独立，设比赛

X

局后结束，求随机变量

X

的分布列及期望.参考数据（其中

t = \frac{1}{x_{i}}

）：

$\sum_{i = 1}^{7} t_{i} y_{i}$	$\bar{t}$	$\sum_{i = 1}^{7} t_{i}^{2} - 7 \times {\bar{t}}^{2}$
1750	0.37	0.55

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20. 已知函数 $f (x) = (x^{2} - 2 a x) ln x + a x$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在x=1处的切线与直线2x-y+1=0平行，求实数a的值；

(2)、当 $x \in (0 ， \sqrt{e})$ 时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围.

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21. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上的点 $P (x_{0} ， 1)$ 到其焦点F的距离为2.

(1)、求抛物线C的方程及点F的坐标.

(2)、过抛物线C上一点Q作圆 $M ： x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 的两条斜率都存在的切线，分别与抛物线C交于异于点Q的A，B两点.证明：直线AB与圆M相切.

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \sqrt{2} \cos α \\ y = - 1 + \sqrt{2} \sin α \end{array}$ （α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρsin（ $\frac{π}{4}$ -θ）= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求曲线C₁的普通方程与曲线C₂的直角坐标方程；

(2)、设点M（1，0），若曲线C₁ ， C₂相交于A，B两点，求 $\frac{1}{| M A |} + \frac{1}{| M B |}$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 4 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) + f (5 - x) \leq 5$ 的解集；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) - f (x + 2)$ 的最大值为M.若a+b=M，且a>0，b>0，求 $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{4 b + 4}$ 的最小值.

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