广东省深圳市普通中学2022届高三上学期数学质量评估试卷

试卷更新日期：2021-09-29 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 6 > 0}$ ，集合 $B = {x \in Z | x^{2} \leq 4 x}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 ${x | 0 \leq x \leq 3}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ C、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$ D、 $(3 ， 4]$

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2. 若复数 $z = \frac{1 + i}{a + i} - i$ 为纯虚数，则实数a的值为（）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、0 D、1

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3. 设随机变量 $X ~ N (0.2 ， δ^{2})$ ，若 $P (X > 2) = 0.2$ ，则 $P (X > - 1.6)$ 等于（）

A、0.5 B、0.9 C、0.8 D、0.7

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4. 现有5种不同颜色要对如图所示的五个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）

A、420种 B、780种 C、540种 D、480种

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5. 在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $2 A B = A A_{1}$ ，则 $B_{1} C$ 与平面 $A A_{1} B_{1} B$ 所成角的正切值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{51}}{17}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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6. 函数 $f (x) = \frac{4 \cos x}{e^{x} + e^{- x}}$ 在 $[- π ， π]$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知 $a$ ， $b$ 为正实数，直线 $y = x + a$ 与曲线 $y = e^{x - b}$ 相切，则 $\frac{2}{3 a} + \frac{1}{4 b}$ 的最小值是（）

A、2 B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $\frac{11}{12} + \frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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8. 已知 $f (x)$ 是可导的函数，且 $f^{'} (x) \leq 2 f (x)$ ，对于 $x \in R$ 恒成立，则下列不等关系正确的是（）

A、 $e^{2} f (0) > f (1) ， e^{4040} f (1) > f (2021)$ B、 $e^{2} f (0) < f (1) ， e^{4040} f (1) > f (2021)$ C、 $e^{2} f (0) > f (1) ， e^{4040} f (1) < f (2021)$ D、 $e^{2} f (0) < f (1) ， e^{4040} f (1) < f (2021)$

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二、多选题

9. 下列四个函数中，最小值为2的是（）

A、 $y = \frac{1}{1 + \sqrt{1 - \sin x}} + \cos x ， x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ B、 $y = \ln x + \frac{1}{\ln x}$ ，x>1 C、 $y = \frac{x + 6}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ D、 $y = 21^{x} + 21^{- x}$

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10. 下列说法正确的是（）

A、若 $x y \geq 0$ ，则 $| x + y | + | x | + | y | \geq 2 | x - y |$ B、若 $a + b i = (1 - i) (2 + i)$ ，则 $a + b = 2$ C、“ $x > \frac{a + b}{2}$ 是 $x > \sqrt{a b}$ ”的充分必要条件 D、“ $\forall x > 0$ ， $e^{x} > x + 1$ ”的否定形式是“ $\exists x \leq 0$ ， $e^{x} \leq x + 1$ ”

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11. 已知函数 $f (x) = \sin x - \cos x$ ， $g (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，则下列结论中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的值域与 $g (x)$ 的值域不相同 B、把函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度，就可以得到函数 $g (x)$ 的图象 C、函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4})$ 上都是增函数 D、若 $x_{0}$ 为是函数 $f (x)$ 的极值点，则 $x_{0}$ 是函数 $g (x)$ 的零点

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12. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $A = \frac{π}{6}$ ， $a = 2$ ， $⊙ O$ 为 $△ A B C$ 的外接圆， $\vec{O P} = m \vec{O B} + n \vec{O C}$ ，给出下列四个结论正确的是（）

A、若 $m = n = 1$ ，则 $| \vec{O P} | = 2 \sqrt{3}$ ； B、若P在 $⊙ O$ 上，则 $m + n$ 的最大值为2； C、若P在 $⊙ O$ 上，则 $m^{2} + n^{2} + m n = 1$ ； D、若 $m ， n \in [0 ， 1]$ ，则点P的轨迹所对应图形的面积为 $2 \sqrt{3}$ .

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三、填空题

13. 若关于 $x$ 的不等式 $a x - b < 0$ 的解集是 $(1 ， + \infty)$ ，则关于 $x$ 的不等式 $\frac{a x + b}{x + 5} > 0$ 的解集是.

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14. 已知 $\vec{a} = (1 ， 2 ， 3)$ ， $\vec{b} = (2 ， 3 ， 5)$ ，则以 $\vec{a} ， \vec{b}$ 为邻边的平形四边形面积是 .

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15. 同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数大于2”为事件A.“两颗骰子的点数之和等于6”为事件 $B$ ，则 $P (\bar{B} | A) =$ .

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16. 定义方程 $f (x) = f^{'} (x)$ 的实数根 $x_{0}$ 叫做函数 $f (x)$ 的“G点”.

(1)、设 $f (x) = \sin x$ ，则 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上的“G点”为；

(2)、如果函数 $g (x) = \ln (4 + x)$ 与 $h (x) = e^{x} - 3 x - 1$ 的“G点”分别为 $x_{1} ， x_{2}$ ，那么 $x_{1} + x_{2}$ 与 $0$ 的大小关系是.

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四、解答题

17. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
①第5项的系数与第3项的系数之比为5：2；

②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为36；

③ $C_{n + 1}^{3} - C_{n - 1}^{5} = 63$ .

已知在 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中， .

(1)、求展开式中二项式系数最大的项；

(2)、求展开式中含 $\frac{1}{x}$ 的项.

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18. 已知 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{b^{2}}{12 \sin B}$ ， $\cos A \cos C = - \frac{1}{3}$ .

(1)、求 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 6$ ，求三角形内切圆半径 $r$ .

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19. 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是 $\frac{2}{5}$ 外，其余每局比赛甲队获胜的概率是 $\frac{2}{3}$ .假设各局比赛结果互相独立.

(1)、分别求甲队以 $3 ： 0$ ， $3 ： 1$ ， $3 ： 2$ 胜利的概率；

(2)、若比赛结果为 $3 ： 0$ 或 $3 ： 1$ ，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为 $3 ： 2$ ，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分 $X$ 的分布列及数学期望.

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20. 如图，A、B是一矩形OEFG边界上不同的两点，且∠AOB＝45°，OE＝1，EF＝ $\sqrt{3}$ ，设∠AOE＝ $α$ .

(1)、写出△AOB的面积关于 $α$ 的函数关系式 $f (α)$ ；

(2)、求（1）中函数 $f (α)$ 的值域.

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21. 大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了

100

名魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：

用时（秒）	$[5 ， 10)$	$[10 ， 15)$	$[15 ， 20)$	$[20 ， 25)$
男性人数	15	22	14	9
女性人数	5	11	17	7

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

(1)、将用时低于15秒的称为“熟练盲拧者”，不低于15秒的称为“非熟练盲拧者”.请根据调查数据完成以下

2 \times 2

列联表，并判断是否有95%的把握认为是否为“熟练盲拧者”与性别有关？

	熟练盲拧者	非熟练盲拧者
男性
女性

(2)、以这100名盲拧魔方爱好者的用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者的用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.那么在该兴趣小组在全市范围内再次随机抽取20名爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是多少？

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22. 已知函数 $f (x) = x e^{x} + a x^{2} + 2$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、对 $\forall x \in [β ， + \infty)$ ， $β \geq 0$ ，有 $f (x) \geq x + 2$ ，求 $a$ 的取值范围.

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