重庆市渝中区2021-2022学年九年级上学期数学开学试卷

试卷更新日期：2021-09-28 类型：开学考试

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一、选择题（每题4分，共48分）

1. 下列4个图形中，是中心对称图形但不是轴对称的图形是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 直线 $y = 2 x - 4$ 与 $y$ 轴的交点坐标是（）

A、 $(4 ， 0)$ B、 $(0 ， 4)$ C、 $(- 4 ， 0)$ D、 $(0 ， - 4)$

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3. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m x - 6 = 0$ 有一个根为2.则另一个根为（）

A、-2 B、2 C、4 D、-3

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4. 如图，把 $Δ A B C$ 绕着点 $A$ 顺时针方向旋转 $34 °$ ，得到△ $A B^{'} C^{'}$ ，点 $C$ 刚好落在边 $B^{'} C^{'}$ 上.则 $∠ C^{'}$ =（）

A、 $56 °$ B、 $62 °$ C、 $68 °$ D、 $73 °$

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5. 二次函数 $y = x^{2} - 2 x + 4$ 化为 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 的形式，下列正确的是（）

A、 $y = {(x - 1)}^{2} + 2$ B、 $y = {(x - 1)}^{2} + 3$ C、 $y = {(x - 2)}^{2} + 2$ D、 $y = {(x - 2)}^{2} + 4$

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6. 若点 $A$ 的坐标为 $(6 ， 3)$ ， $O$ 为坐标原点，将 $O A$ 绕点 $O$ 按顺时针方向旋转 $90 °$ 得到 $O A^{'}$ ，则点 $A^{'}$ 的坐标是（）

A、 $(3 ， - 6)$ B、 $(- 3 ， 6)$ C、 $(- 3 ， - 6)$ D、 $(3 ， 6)$

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7. 将抛物线 $y = - 3 x^{2}$ 平移，得到抛物线 $y = - 3 {(x - 1)}^{2} - 2$ ，下列平移方式中，正确的是（）

A、先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B、先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C、先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D、先向右平移1个单位，再向下平移2个单位

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8. 方程 $x^{2} + k x - 1 = 0$ 根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定

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9. 在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（）

A、y₁ B、y₂ C、y₃ D、y₄

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10. 二次函数 $y = k x^{2} + 2 x + 1 (k < 0)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 九年级（5）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，如果设全组共有 $x$ 名同学，依题意，可列出的方程是（）

A、 $x (x + 1) = 132$ B、 $x (x - 1) = 132$ C、 $2 x (x + 1) = 132$ D、 $\frac{1}{2} x (x + 1) = 132$

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12. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0) \neq$ 的图象如图所示，给出以下结论：① $b^{2} > 4 a c$ ；② $a b c > 0$ ；③ $2 a - b = 0$ ；④ $8 a + c < 0$ ；⑤ $9 a + 3 b + c < 0$ .其中结论正确的个数有（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题（每空4分，共24分）

13. 方程x²=2x的根为．

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14. 抛物线 $y = 2 {(x - 2)}^{2} - 4$ 的顶点坐标是.

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15. 如图，抛物线 $y = a x^{2}$ 与直线 $y = b x + c$ 的两个交点坐标分别为 $A (- 2 ， 4)$ ， $B (1 ， 1)$ ，则方程 $a x^{2} = b x + c$ 的解是.

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16. 我们知道方程 $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ 的解是 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 3$ ，现给出另一个方程 ${(2 x + 3)}^{2} + 2 (2 x + 3) - 3 = 0$ ，它的解是.

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17. 已知函数 $y = (k - 3) x^{2} + 2 x + 1$ 的图象与 $x$ 轴有交点，则 $k$ 的取值范围为.

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18. 如图， $P$ 是正方形 $A B C D$ 内一点， $∠ A P B = 135 °$ ， $B P = 1$ ， $A P = \sqrt{7}$ ，则 $P C$ 的长是.

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三、解答题（共20分）

19. 解方程：

(1)、 $3 x^{2} - 1 = 4 x$ ；

(2)、 ${(x + 4)}^{2} = 5 (x + 4)$ .

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20. 如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过坐标原点，并与 $x$ 轴交于点 $A (2 ， 0)$ .

(1)、求此抛物线的解析式及顶点坐标；

(2)、若抛物线上有一点 $B$ ，且 $S_{Δ O A B} = 1$ ，求点 $B$ 的坐标.

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四、解答题（每题10分，共50分）

21. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6 c m$ ， $B C = 8 c m$ ，点 $P$ 从点 $A$ 沿边 $A B$ 以 $1 c m / s$ 的速度向点 $B$ 移动，同时点 $Q$ 从点 $B$ 沿边 $B C$ 以 $2 c m / s$ 的速度向点 $C$ 移动，当 $P$ 、 $Q$ 两点中有一个点到终点时，则另一个点也停止运动.当 $Δ D P Q$ 的面积比 $Δ P B Q$ 的面积大 $19.5 c m^{2}$ 时，求点 $P$ 运动的时间.

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22. 某次数学活动时，数学兴趣小组成员小融拟研究函数

y = - \frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} + | x - 2 | + 3

的图象和性质.

(1)、如表是该函数

y

与自变量

x

的几组对应值：

$x$	$\dots \dots$	$- 2$	0	1	2	3	4	6	$\dots \dots$
$y$	$\dots \dots$	$- 1$	$m$	3.5	3	$n$	3	$- 1$	$\dots \dots$

其中， $m$ 的值为， $n$ 的值为；

(2)、如图，在平面直角坐标系

x O y

中，描出上表中各组对应值为坐标的点，再根据描出的点，画出该函数图象；

(3)、根据函数图象，写出该函数的一条性质：.

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23. 对于实数 $a$ 、 $b$ ，定义一种新运算“※”为： $a$ ※ $b = \frac{a (b + 2) + 2}{b - a}$ ，例如：1※ $3 = \frac{1 \times (3 + 2) + 2}{3 - 1} = \frac{7}{2}$ ， $(- 1)$ ※ $(- 2) = \frac{- 1 \times (- 2 + 2) + 2}{(- 2) - (- 1)} = - 2$

(1)、化简： $(x - 4)$ ※ $x$ .

(2)、若关于 $x$ 的方程 $(m x + 1)$ ※ $(2 x - 1) = 1$ 有两个相等的实数根，求实数 $m$ 的值.

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24. 为了提高教学质量，促进学生全面发展，某中学计划投入99000元购进一批多媒体设备和电脑显示屏，且准备购进电脑显示屏的数量是多媒体设备数量的6倍，现从商家了解到，一套多媒体设备和一个电脑显示屏的售价分别为3000元和600元.

(1)、求最多能购进多媒体设备多少套？

(2)、恰逢“3.15”欢乐购时机，每套多媒体设备的售价下降 $\frac{3}{5} a %$ ，每个电脑显示屏的售价下降 $5 a$ 元，学校决定多媒体设备和电脑显示屏的数量在（1）中购进最多量的基础上都增加 $a %$ ，实际投入资金与计划投入资金相同，求 $a$ 的值.

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25. 在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别在边 $B C$ 、 $C D$ 上，且 $∠ E A F = ∠ C E F = 45 °$ .

(1)、将 $Δ A D F$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到 $Δ A B G$ （如图 $1)$ ，求证： $B E + D F = E F$ ；

(2)、若直线 $E F$ 与 $A B$ 、 $A D$ 的延长线分别交于点 $M$ 、 $N$ （如图 $2)$ ，求证： $E F^{2} = M E^{2} + N F^{2}$ ；

(3)、将正方形改为长与宽不相等的矩形，其余条件不变（如图 $3)$ ，直接写出线段 $E F$ 、 $B E$ 、 $D F$ 之间的数量关系.

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五、解答题（每题8分，共8分）

26. 如图，已知抛物线 $y = - \frac{2}{3} x^{2} + \frac{4}{3} x + 2$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的对称轴与 $x$ 轴交于点 $D$ .点 $M$ 从 $O$ 点出发，以每秒1个单位长度的速度向 $B$ 运动，过 $M$ 作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $P$ ，交 $B C$ 于 $Q$ .

(1)、求点 $B$ 和点 $C$ 的坐标；

(2)、设当点 $M$ 运动了 $x$ （秒 $)$ 时，四边形 $O B P C$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 与 $x$ 的函数关系式，并指出自变量 $x$ 的取值范围；

(3)、在线段 $B C$ 上是否存在点 $Q$ ，使得 $Δ D B Q$ 成为以 $B Q$ 为一腰的等腰三角形？若存在，求出点 $Q$ 的坐标，若不存在，说明理由.

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