湖北省汉川市2021年数学第二次学业水平调研考试试卷

试卷更新日期：2021-09-28 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 如图，直线 $a / / b$ ，将一块含30°角的直角三角尺按图中方式放置，其中点A和点B两点分别落在直线a和b上.若∠2=40°，则∠1的度数为（）

A、20° B、30° C、40° D、60°

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2. 2020年7月23日，中国首颗火星探测器“天问一号”顺利升空，当“天问一号”探测器抵达火星附近时，总飞行里程将达到470000000公里.将数470000000用科学记数法表示正确的是（）

A、 $4.7 \times 10^{7}$ B、 $4.7 \times 10^{8}$ C、 $4.7 \times 10^{9}$ D、 $4.7 \times 10^{10}$

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3. 下图是某个几何体的展开图，该几何体是（）

A、三棱柱 B、三棱锥 C、圆柱 D、圆锥

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4. 下列运算中正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ C、 ${(a + 1)}^{2} = a^{2} + 1$ D、 ${(- a^{2})}^{2} = a^{4}$

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5. 2019年第七届世界军人运动会（7 th CISM Military World Games）于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，这是中国第一次承办综合性国际军事赛事，也是继北京奥运会后，中国举办的规模最大的国际体育盛会.某射击运动员在赛前训练中射击了10次成绩如图所示.下列结论中错误的是（）

A、众数是8 B、中位数是8 C、平均数是8.2 D、方差1.6

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6. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形 $E F G H I J$ 绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形 $A B C D$ 内（包括正方形的边），当这个六边形的边长最大时， $A E$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 如图，在 $Rt Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 2 \sqrt{2}$ ， $C D ⊥ A B$ 于点D.点 $P$ 从点A出发，沿 $A \to D \to C$ 的路径运动，运动到点C停止，过点 $P$ 作 $P E ⊥ A C$ 于点E，作 $P F ⊥ B C$ 于点F.设点P运动的路程为x，四边形 $C E P F$ 的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

8. 式子 $\sqrt{3 + x}$ 中x的取值范围是.

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9. 已知一元二次方程 $x^{2} + 4 x - 3 = 0$ 的两实数根为 $α$ 和 $β$ ，则 $α^{2} + β^{2}$ 的值为．

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10. 已知 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 4 k \\ 2 x + y = 2 k + 1 \end{array}$ ，且 $x - y = 0$ ，则k的值为.

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11. 如图， $B D$ 为菱形 $A B C D$ 的对角线，作 $A E ⊥ B C$ 于点E，交 $B D$ 于点F.若E为 $B C$ 的中点，则 $\sin ∠ B F E$ 的值是.

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12. 某校组织了主题为“经典诵读”的小视频征集活动，现从中随机抽取部分作品.按 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四个等级进行评价，并根据结果绘制了如下两幅不完整的统计图.若该校共征集到800份作品，请估计等级为 $A$ 的作品约有份.

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13. 如图，睿智数学兴趣小组为了测量河对岸 $l_{1}$ 的两棵古树A、B之间的距离，他们在河对边沿着与 $A B$ 平行的直线 $l_{2}$ 上取C、D两点，测得 $∠ A C B = 15 °$ ， $∠ A C D = 45 °$ ，若 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间的距离 $C E$ 为50m，则古树A、B之间的距离为m.（结果保留根号）

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14. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、…，这样的数称为“正方形数”.从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.则第10个图形中右下方的“三角形数”中的所有点数是.

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15. 如图，将矩形纸片 $A B C D$ （ $A D > A B$ ）折叠，使点C刚好落在线段 $A D$ 上，且折痕分别与边 $B C$ ， $A D$ 相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边 $B C$ ， $A D$ 相交于点E，F.若 $A B = 3$ ， $B C = 9$ ，则线段 $C E$ 的最大值与最小值的和是.

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三、解答题

16. 计算： $\sqrt{12} - 2^{- 1} + {(\frac{1}{3} - π)}^{0} - 4 \cos 30 °$

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17. 小明学习电学知识后，用四个开关按键（每个开关按键闭合的可能性相等）、一个电源和一个灯泡设计了一个电路图

(1)、若小明设计的电路图如图1（四个开关按键都处于打开状态）如图所示，求任意闭合一个开关按键，灯泡能发光的概率；

(2)、若小明设计的电路图如图2（四个开关按键都处于打开状态）如图所示，求同时时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率.（用列表或树状图法）

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18. 已知点 $A (2, 6)$ 、 $B (3, 4)$ 在某个反比例函数的图象上.

(1)、求此反比例函数的解析式；

(2)、若直线 $y = m x$ 与线段AB相交，求m的取值范围.

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19. “绿水青山就是金山银山”，某村为了绿化荒山，计划在植树节当天种植柏树和杉树.经调查，购买1棵柏树比1棵杉树多50元，且花费900元购买杉树与花费1200元购买柏树的数量相同.

(1)、求柏树和杉树的单价各是多少元；

(2)、本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共80棵，且柏树的棵数不少于杉树的2倍.为完成这次绿化任务，村里筹措了资金15000元，问该村完成这次绿化任务有几种方案？

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A C$ 为直径作 $⊙ O$ 交 $B C$ 于点D，过点D作 $⊙ O$ 的切线，交 $A B$ 于点E，交 $C A$ 的延长线于点F.

(1)、求证： $F E ⊥ A B$ ；

(2)、当 $E F = 8$ ， $\frac{O A}{O F} = \frac{3}{5}$ 时，求 $D E$ 的长.

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21. 汈汊湖素有鱼米之乡的美誉，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了 $20000 kg$ 淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售.若每天放养的费用均为400元，收购成本为300000元.设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（ $kg$ ），销售单价为y元/ $kg$ .根据以往经验可知：m与t的函数关系为 ${\begin{array}{l} 20000 (0 \leq t \leq 50) \\ 100 t + 15000 (50 < t \leq 100) \end{array}$ ；y与t的函数关系如图所示.

(1)、分别求出当 $0 \leq t \leq 50$ 和 $50 < t \leq 100$ 时，y与t的函数关系式；

(2)、设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为w元，求当t为何值时，w最大？并求出最大值.（利润=销售总额-总成本）

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22. 如图， $△ A C B$ 和 $△ D C E$ 均为等腰三角形， $A C = B C$ ， $D C = E C$ ，点A，D，E在同一直线上，连接 $B E$ .

(1)、如图1，若 $∠ C A B = ∠ C D E = 50 °$ .
①求证： $A D = B E$ ；

②则 $∠ A E B$ 的度数为 ▲ .

(2)、如图2，若 $∠ A C B = ∠ D C E = 90 °$ ， $C F$ 为 $△ D C E$ 中 $D E$ 边上的高，试猜想 $A E$ ， $C F$ ， $B E$ 之间的数量关系，并简要证明你的结论.

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23. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x - 3 a (a < 0)$ 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线 $l ： y = a x + a$ 与y轴负半轴交于点C，与抛物线交于另一点D.

(1)、则点D的坐标为（用含a的式子表示）；

(2)、点E是直线l上方的抛物线上的动点，若 $△ A C E$ 面积的最大值为 $\frac{25}{16}$ ，求a的值；

(3)、设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，若以点A、D、P、Q为顶点的四边形成为矩形时，求出点P的坐标.

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