河南省许昌市2021年数学中考二模试卷

试卷更新日期：2021-09-28 类型：中考模拟

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一、单选题

1. -3的绝对值是（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、-3 C、 $\frac{1}{3}$ D、3

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2. 某班数学老师结合中国共产党建党一百周年，在班级内组织了一堂“正方体展开图猜猜看”活动课，下图是该正方体展开图的一种，那么原正方体中，与“党”字所在面对应的面上的汉字是（）

A、礼 B、赞 C、百 D、年

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3. 如图，直线 $a$ 与 $b$ 相交， $∠ 1 + ∠ 2 = 240 °$ ， $∠ 3 =$ （）

A、40° B、50° C、60° D、70°

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4. 某社区为了解该社区居民年龄结构，从社区住户中随机抽取80名居民的信息进行调查，将抽取年龄按“老”、“中”、“青”、“幼”划分为四个等级，统计数据分别为20人、20人、28人、12人.若该社区共有3000人，则估计其中年龄为“中”和“青”的总人数约为（）

A、1500 B、1600 C、1700 D、1800

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5. 已知 $a^{2} - 2 a = 1$ ，则 $3 a^{2} - 6 a - 4$ 的值为（）

A、-1 B、1 C、-2 D、2

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6. 北京时间4月22日20时40分，天空迎来“天琴座流星雨”，每小时有一二十颗流星划过天空，让人叹为观止.已知地球的质量约为 $6 \times 10^{21}$ 吨，而在46亿年的时间内大约有20万吨的流星体下落，那么地球的质量大约是这些流星体的（）倍

A、 $3 \times 10^{14}$ B、 $3 \times 10^{15}$ C、 $3 \times 10^{16}$ D、 $3 \times 10^{17}$

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7. 在 $⊙ O$ 中，直径 $A B = 10$ ，弦 $D E ⊥ A B$ 于点 $C$ ，若 $O C ： O A = 4 ： 5$ ，则 $△ O D E$ 的周长为（）

A、13 B、14 C、15 D、16

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8. 如图，把一块长为50cm，宽为40cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为400cm² ，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（）

A、 $(40 - x) (50 - 2 x) = 400$ B、 $(40 - 2 x) (50 - 2 x) = 400$ C、 $(40 - x) (50 - x) = 400$ D、 $(40 - 2 x) (50 - x) = 400$

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9. 在平面直角坐标系内，点 $A (2 ， 3)$ ， $B (- 1 ， 4)$ ， $C (2 ， a)$ ，分别在三个不同的象限若反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象经过其中两点，则 $a$ 的值为（）

A、-3 B、-2 C、2 D、3

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10. 如图，在平面直角坐标系中， $R t Δ A B O$ 的顶点B在x轴的正半轴上， $∠ A B O = 90 °$ ，点A的坐标为 $(1 ， \sqrt{3})$ ，将 $△ A B O$ 绕点О逆时针旋转，使点B的对应点 $B^{'}$ 落在边OA上，则 $A^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(- 1 ， \sqrt{3})$ B、 $(- \sqrt{3} ， 1)$ C、 $(- \frac{\sqrt{3}}{3} ， 1)$ D、 $(- 1 ， \frac{\sqrt{3}}{3})$

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二、填空题

11. 计算： $\sqrt{4} - {(- \frac{1}{3})}^{- 1} =$ .

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12. 将直线 $y = 2 x$ 向下平移2个单位长度，平移后的直线解析式为.

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13. 某校计划以班级为单位开展“数学趣味赛”，七（1）班准备从小铭、小宇两名男生和小琪、小叶，小萱三名女生中各随机选出一名男生和一名女生参加比赛，则小宇和小萱被选中的概率为.

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14. 如图，在正方形ABCD中， $A B = 2$ ，点E是边BC的中点，点F是边CD上一点，连接AF，若 $∠ F A E = ∠ B A E$ ，则线段CF的长度为.

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15. 如图，在扇形AOB中， $∠ A O B = 90 °$ ， $O A = 2$ ，点P是弧AB上一动点，连接OP，点C是OP的中点，连接AC并延长，交OB于点D，则图中阴影部分面积的最小值为.

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三、解答题

16.

(1)、解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 (x + 1) \geq x ① \\ \frac{x + 1}{2} > x - 1 ② \end{array}$
请结合题意填空，完成本题的解答

（I）解不等式①，得 ▲ ；

（Ⅱ）解不等式②，得 ▲ ；

（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为 ▲ .

(2)、解方程： $\frac{2}{x - 2} - 1 = \frac{3}{2 - x}$ .

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17. 近年来网约车给人们的出行带来了便利.初三的王冬和数学兴趣小组的同学对“美团”和“滴滴”两家网约车公司司机月收入进行了一项抽样调查，两家公司分别抽取的10名司机月收入（单位：千元）如图所示：

根据以上信息，整理分析数据如下：

	平均月收入	中位数	众数	方差
“美团”	$a$	6	$c$	1.2
“滴滴”	6	$b$	4	7.6

(1)、填空：

a =

；

b =

；

c =

；

(2)、王冬的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是王冬，你建议他选哪家公司？说明理由.

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ .

(1)、尺规作图：作出经过A，B，C三点的 $⊙ O$ .（不写作法，保留作图痕迹）

(2)、连接AO并延长，交 $⊙ O$ 于点D，连接DB，DC.
①求证： $△ B D C ≌ △ C A B$ ；

②将 $△ C A D$ 沿AD折叠，点C的对应点为 $C^{'}$ ，当 $∠ A B C =$ ▲ °时，四边形 $A B C^{'} O$ 为菱形.

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19. 大鸿寨风景区位于禹州市鸠山镇境内，集自然山、水、洞、林为一体，是河南省少有的自然生态旅游区之一.某校数学兴趣小组在研学旅行活动中对大鸿寨主峰卧佛山的高度进行了测量.如图，他们先在山脚A处测得山顶B的仰角 $∠ B A D$ 为45°，然后沿着倾斜角为25°的斜坡向上走了350米达到点C，在点C处测得山顶B的仰角 $∠ B C E$ 为50°，求大鸿寨主峰卧佛山的高度BD.
（结果精确到1米；参考数据： $\sin 25 ° \approx 0.4$ ， $\cos 25 ° \approx 0.9$ ， $\tan 25 ° \approx 0.5$ ， $\sin 50 ° \approx 0.8$ ， $\cos 50 ° \approx 0.6$ ， $\tan 50 ° \approx 1.2$ ）

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20. 某中学组织师生共60人，从A市乘高铁前往B市参加学习交流活动，高铁票价格如表所示：（教师按成人票价购买，学生按学生票价购买）

运行区间		一等座	二等座
出发站	终点站	成人票价（元/张）	成人票价（元/张）	学生票价（元/张）
A市高铁站	B市高铁站	132	80	60

若师生均购买二等座票，则共需3800元.

(1)、求参加活动的教师和学生各有多少人?

(2)、由于部分教师需提早前往做准备工作，但合适的车次二等座已售完，这部分教师需购买一等座票，而后续前往的教师和学生均购买二等座票.设提早前往的教师有

x

人，购买一、二等座票全部费用为

w

元.

①求 $w$ 关于 $x$ 的函数关系式；

②若购买一、二等座票全部费用不多于4000元，则提早前往的教师最多只能多少人?

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21. 在同一平面内，如果仅原点重合的两条数轴不垂直，我们将这样的坐标系称为斜坐标系.如图1，若点P是斜坐标系 $x O y$ 中任意一点，过点Р分别作两坐标轴的平行线，与x轴，y轴交于点M，N，如果点M，N对应的实数为a，b，则点P的坐标为 $(a ， b)$ .

(1)、如图1，点E在斜坐标系 $x O y$ 中的坐标为（）

A、 $(4 ， - 2)$ B、 $(4 ， 2)$ C、 $(3 ， - 2)$ D、 $(3 ， 2)$

(2)、如图2，在斜坐标系 $x O y$ 中，直线l与x轴，y轴交于点 $A (3 ， 0)$ ， $B (0 ， 4)$ .
①若点 $Q (x ， y)$ 是直线l上一点，请写出y关于x的关系式，并就点Q在BA延长线上时的情况进行证明；

②若x轴与y轴的夹角 $∠ B O A = 60 °$ ，经过原点О的直线m交直线l于点F，当 $∠ F O A = 30 °$ 时，请直接写出点F的坐标.

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22. 小亮在学习完一次函数，反比例函数，二次函数后，从中心对称的角度思考函数图象上的点，发现所有的反比例函数图象上都存在不同的两点关于原点对称，经过探究，小亮发现一些一次函数、二次函数图象上也存在不同的两点关于原点对称.

(1)、下列给出的一次函数中，其图象上存在不同的两点关于原点对称的是；
① $y = - 2 x$ ；② $y = x - 3$ ；③ $y = 2 x$ ；④ $y = - 2 x + 3$

(2)、已知二次函数 $y = a x^{2} + b x - 4 a (a > 0)$ 的图象上存在不同的两点 $A (m ， - m)$ 与B关于原点对称，其中 $m > 0$ .
①求m及b的值；

②点C是该二次函数图象上点A，B之间的一个动点（含端点A，B），若点C的纵坐标t最小值为 $- 5 a$ ，求此二次函数解析式.

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23. 三角形的布洛卡点（Brocardpoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A.LCrelle1780-1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意.1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard1845-1922）重新发现，并用他的名字命名.如图1，若 $△ A B C$ 内一点P满足 $∠ P A B = ∠ P B C = ∠ P C A = ∠ α$ ，则点P是 $△ A B C$ 的布洛卡点， $∠ α$ 是布洛卡角.

(1)、如图2，点P为等边三角形ABC的布洛卡点，则布洛卡角的度数是；PA、PB、PC的数量关系是；

(2)、如图3，点P为等腰直角三角形ABC（其中 $∠ B A C = 90 °$ ）的布洛卡点，且 $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3$ .
①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；

②若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{5}{2}$ ，求 $△ P B C$ 的面积.

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