河南省新乡市辉县2021年数学中考二模试卷

试卷更新日期：2021-09-28 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $- \frac{1}{2}$ 的相反数是（）

A、-2 B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 将含有 $30 °$ 角的直角三角板按如图所示的方式放置在一把直尺上，若 $∠ 1 = 20 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $120 °$ B、 $100 °$ C、 $140 °$ D、 $150 °$

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3. 记者从河南省交通运输厅了解到，今年清明节3天假期，全省高速公路享受减免通行费政策，7座以下小客车总量大约为641.16万辆，共减免2.56亿元数据“2.56亿”用科学记数法表示为（）

A、 $2.56 \times 10^{8}$ B、 $2.56 \times 10^{7}$ C、 $0.256 \times 10^{8}$ D、 $0.256 \times 10^{9}$

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4. 一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图所示的是它的主视图和俯视图，那么组成该几何体所需小正方体的个数最多为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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5. 若二次函数 $y = m x^{2} - 2 x + 1$ 的图象与 $x$ 轴无交点，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $m < 1$ B、 $m > 1$ C、 $m > - 1$ 且 $m \neq 0$ D、 $m < 1$ 且 $m \neq 0$

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6. 某商品连续两次降价，每件零售价由原来的56元降到了31.5元，若设平均每次降价的百分率为 $x$ ，则可列方程为（）

A、 $56 {(1 - x)}^{2} = 31.5$ B、 $56 {(1 + x)}^{2} = 31.5$ C、 ${(1 - x)}^{2} = 31.5$ D、 $31 .5 {(1 + x)}^{2} = 56$

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7. 某班同学分成6小组进行活动，人数分别为13，6，12，6，5，8，则这组数据的众数和中位数分别是（）

A、6，7 B、6，6 C、6，12 D、8，13

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8. 如图，反比例函数 $y_{1} = \frac{2}{x}$ （ $x > 0$ ）和一次函数 $y_{2} = x + 1$ 的图象相交于点 $A$ ，则使 $y_{1} > y_{2}$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > 1$ B、 $0 < x < 1$ C、 $x < 1$ D、 $x > 0$

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9. 如图1，正方形 $A B C D$ 的边长和等腰直角 $△ F G H$ 的边 $A D$ 与 $F G$ 重合，边 $A B$ 与 $F H$ 在一条直线上， $△ F G H$ 以 $1 cm / s$ 的速度向右移动，直到点 $H$ 与点 $B$ 重合才停止移动，两个图形重叠部分的面积为 $S$ （ ${cm}^{2}$ ），图2所示的是 $△ F G H$ 向右移动时，面积 $S$ （ ${cm}^{2}$ ）与随时间 $t$ （ $s$ ）的变化的关系图象，则 $a$ 的值是（）

A、16 B、8 C、2 D、4

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 60 °$ ， $A C = 4$ ， $B C = 3$ .分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径作弧，两弧交于 $M$ 、 $N$ 两点，作直线 $M N$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，则 $C D$ 的长为（）

A、1 B、 $\frac{7}{5}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、3

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二、填空题

11. 计算： ${(1 - \sqrt{2})}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 2} =$ .

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12. 不等式组 ${\begin{array}{l} x - 2 \leq 0 ， \\ \frac{x - 1}{2} < x \end{array}$ 的所有整数解的和是.

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13. 不透明的袋子中装有5个球，其中有3个红球、2个黑球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出2个球，则它们都是红球的概率为.

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14. 如图， $A C$ 是边长为2的正方形 $A B C D$ 的对角线， $P$ 为 $B C$ 边上一动点， $E$ ， $F$ 为 $A B$ ， $A C$ 的中点.当 $P E + P F$ 的值最小时， $C P$ 的值为.

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $B$ 按逆时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A^{'} B C^{'}$ ，点 $A$ 经过的路径为弧 $A A^{'}$ ，若 $A B = 2$ ， $B C^{'} = \sqrt{3}$ ，则图中阴影部分的面积为.

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三、解答题

16. 先化简，再求值： ${(x + 2 y)}^{2} - (2 y - x) (x + 2 y) - 2 x (x + y)$ ，其中 $x = \sqrt{2} - 1$ ， $y = \sqrt{2} + 2$ .

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17. 为了解某地区初三年级数学学科一模的成绩情况，教育局进行了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整.

收集数据：随机抽取A，B两所学校各20名学生的数学成绩（满分120）进行分析.

A	111	109	99	106	91	51	117	113	92	111
A	101	112	105	105	115	108	108	110	64	111
B	104	113	86	89	96	107	97	102	105	108
B	110	108	87	108	111	116	88	117	59	108

整理、分析数据：两组数据的平均数、中位数、方差、优秀率（成绩 $\geq 96$ ）如下表所示.

学校	平均数	中位数	方差	优秀率
A	101.95	108	267.65	b
B	100.95	a	180.15	75%

(1)、表格中

a =

，

b =

(2)、综合表中的统计量，请判断哪所学校学生的数学水平较高，并说明理由.

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18. 黄河是中华文明最主要的发源地，中国人称其为“母亲河”，为落实黄河文化的传承弘扬，某校组织学生到黄河某段流域进行研学旅行，某兴趣小组在只有米尺和测角仪的情况下，想要求出河南段黄河某处的宽度（不能到对岸），如图，已知该段河对岸岸边有一点 $A$ ，兴趣小组以 $A$ 为参照点在河这边沿河边任取两点 $B$ 、 $C$ ，测得 $∠ A B C = 65 °$ ， $∠ A C B = 45 °$ ，量得 $B C$ 的长为 $300 m$ .

(1)、求河的宽度.（结果精确到 $1m$ ，参考数据： $\sin 65 ° \approx 0.91$ ， $\cos 65 ° \approx 0.42$ ， $\tan 65 ° \approx 2.14$ ）

(2)、兴趣小组在测量时发现还有其他测量方案，请你另外设计一套测量方案，画出图形，并作出简要说明.

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19. 安居小区为鼓励本小区50户居民锻炼身体，居委会决定为每户发放一个拉力器或一个健身球.已知购买3个拉力器比购买2个健身球多花70元；购买2个拉力器和4个健身球共需260元.

(1)、分别求出拉力器和健身球的单价.

(2)、居委会在购买时发现：体育用品商店的拉力器购买数量低于30个不优惠，不低于30个打9折；健身球不打折.若要求购买拉力器的数量不低于健身球数量的2倍，请你设计出费用最少的采购方案，并说明理由.

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20. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A C = B C = 4$ ，以 $A C$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $C D$ 于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $A D$ 于点 $F$ .

(1)、求证： $E F ⊥ A D$ .

(2)、填空：
①当 $∠ B =$ $°$ 时，四边形 $A O E F$ 为正方形；

②当 $A F =$ 时，四边形 $A B C D$ 为菱形.

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21. 如图，抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + 3$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $C$ 两点，与 $y$ 轴正半轴交于 $B$ 点，已知 $A C = 4$ .

(1)、求抛物线的解析式及顶点的坐标.

(2)、若 $Q$ 为第一象限抛物线上的一个动点， $P (1 ， 0)$ 为 $x$ 轴上的一点，过点 $Q$ 作 $Q D ⊥ x$ 轴，若 $△ B O P$ 与以点 $P$ 、 $Q$ 、 $D$ 为顶点的三角形相似，求动点 $Q$ 的坐标.

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22. 小明在学习中遇到这样一个问题：

如图，在 $⊙ O$ 中， $A E$ 是直径， $D$ 是半圆弧 $A E$ 上一动点，弦 $A D$ 、 $A B$ 分别在直径 $A E$ 的两侧，线段 $A B = 8 cm$ ， $C$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，连接 $C D$ ，当 $△ B C D$ 为等腰三角形时，求线段 $B D$ 的长度.

小明在解决此问题时，尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：

(1)、根据点

D

在半圆弧

A E

上的不同位置，画出相应的图形，测量线段

A D

、

C D

、

B D

的长度，得到下表的几组对应值.

$A D / cm$	0	2.0	4.0	6.0	8.0	a	10
$C D / cm$	4.5	6.2	7.7	8.9	9.8	10.0	8.9
$B D / cm$	8.0	9.0	9.7	10.0	9.6	8.9	6.0

操作中发现：

①当 $C D = 10$ 时，上表中 $a$ 的值是 ▲ .

②线段 $B C$ 的长度无需测量即可得到，请简要说明理由.

(2)、将线段

A D

的长度作为自变量

x

，

C D

和

B D

的长度都是

x

的函数，分别记为

y_{C D}

和

y_{B D}

，并在平面直角坐标系

x O y

中画出了函数

y_{B D}

的图象，如图所示.请在同一坐标系中画出函数

y_{C D}

的图象.

继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当 $△ B C D$ 为等腰三角形时，线段 $A D$ 长度的近似值.（结果保留一位小数）

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23. 如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 8$ ， $B C = 6$ ， $D$ 、 $E$ 分别是 $B C$ 、 $A C$ 的中点，连接 $D E$ ，将 $△ E D C$ 绕点 $C$ 按逆时针方向旋转，记旋转角为 $α$ .

(1)、问题发现：
当 $α = 0 °$ 时， $\frac{A E}{B D} =$ ，当 $α = 180 °$ 时， $\frac{A E}{B D} =$ .

(2)、拓展探究：
①当 $0 \leq α < 360 °$ 时， $\frac{A E}{B D}$ 的值有无变化？请仅就图2的情况给出证明.

②当 $△ A C E$ 为直角三角形时，直接写出线段 $B D$ 的长.

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A	111	109	99	106	91	51	117	113	92	111
A	101	112	105	105	115	108	108	110	64	111
B	104	113	86	89	96	107	97	102	105	108
B	110	108	87	108	111	116	88	117	59	108

A	111	109	99	106	91	51	117	113	92	111
A	101	112	105	105	115	108	108	110	64	111
B	104	113	86	89	96	107	97	102	105	108
B	110	108	87	108	111	116	88	117	59	108

A	111	109	99	106	91	51	117	113	92	111
A	101	112	105	105	115	108	108	110	64	111
B	104	113	86	89	96	107	97	102	105	108
B	110	108	87	108	111	116	88	117	59	108