河南省三门峡市2021年数学中考二模试卷

试卷更新日期：2021-09-28 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列四个数中最小的数是（）

A、-1 B、-3 C、0 D、 $- π$

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2. 据三门峡市统计局数据，2020年三门峡市全年GDP约为1451亿元，数据“1451亿”用科学记数法可表示为（）

A、 $0.1451 \times 10^{12}$ B、 $14.51 \times 10^{10}$ C、 $1.451 \times 10^{11}$ D、 $1.451 \times 10^{12}$

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3. 在下列运算中，正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ C、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ D、 $a^{5} + a^{5} = a^{10}$

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4. 某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是（）

A、∠1=∠2 B、∠3=∠4 C、∠1+∠3=180° D、∠3+∠4=180°

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6. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为（）

A、8 B、11 C、16 D、17

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7. 一元二次方程 $(x + 1) (x - 3) = 2 x - 5$ 根的情况是（）

A、无实数根 B、有一个正根，一个负根 C、有两个正根，且都小于3 D、有两个正根，且有一根大于3

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8. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率为（）

A、 $\frac{9}{32}$ B、 $\frac{5}{16}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{7}{16}$

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9. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E.若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（）

A、2 B、3 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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10. 如图，在单位为1的方格纸上， $△ A_{1} A_{2} A_{3}$ ， $△ A_{3} A_{4} A_{5}$ ， $△ A_{5} A_{6} A_{7}$ ，…，是斜边在 $x$ 轴上，斜边长分别为2，4，6，…，的等腰直角三角形，若 $△ A_{1} A_{2} A_{3}$ 的顶点坐标分别为 $A_{1} (2 ， 0)$ ， $A_{2} (1 ， 1)$ ， $A_{3} (0 ， 0)$ ，则依图中所示规律， $A_{2021}$ 的坐标为（）

A、 $(- 1010 ， 0)$ B、 $(1012 ， 0)$ C、 $(2 ， - 505)$ D、 $(1 ， 505)$

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二、填空题

11. 计算 ${(\sqrt{18} - π)}^{0} - {(- 1)}^{2018}$ 的值是.

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12. 如图，Rt $△ A O B$ 中， $∠ A O B = 90 °$ ，顶点 $A$ ， $B$ 分别在反比例函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 与 $y = - \frac{6}{x} (x < 0)$ 的图象上，则 $\tan ∠ B A O$ 的值为.

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13. 不等式组 ${\begin{array}{l} x + 1 > 0 \\ 1 - \frac{1}{2} x \geq 0 \end{array}$ 的最小整数解是．

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14. 如图，矩形ABCD中，AB＝ $\sqrt{2}$ ，BC＝1，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，点C的运动路径为弧CC′，当点B′落在CD上时，则图中阴影部分的面积为

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15. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $B C = 5$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，点 $P$ 为直线 $A B$ 上的一个动点，四边形 $P C E F$ 为平行四边形， $D$ 为 $P F$ 的中点，则 $P E$ 的最小值为.

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三、解答题

16. 下面是小锐同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务.
$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 6 x + 9} - \frac{2 x + 1}{2 x + 6}$

$= \frac{(x + 3) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{2 x + 1}{2 (x + 3)}$ …第一步

$= \frac{x - 3}{x + 3} - \frac{2 x + 1}{2 (x + 3)}$ …第二步

$= \frac{2 (x - 3)}{2 (x + 3)} - \frac{2 x + 1}{2 (x + 3)}$ …第三步

$= \frac{2 x - 6 - (2 x + 1)}{2 (x + 3)}$ …第四步

$= \frac{2 x - 6 - 2 x + 1}{2 (x + 3)}$ …第五步

$= - \frac{5}{2 x + 6}$ …第六步

(1)、填空：
①以上化简步骤中，第步是进行分式的通分，通分的依据是；

②第步开始出现错误，这一步错误的原因是.

(2)、请从出现错误的步骤开始继续进行该分式的化简；

(3)、除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需注意的事项给其他同学提一条建议.

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17. 为了响应全民阅读的号召，某社区开展了为期一年的“读书伴我行”阅读活动，在阅读活动开展之初，随机抽取若干名社区居民，对其年阅读量(单位：本)进行了调查统计与分析，结果如下：

平均数	中位数	众数	最大值	最小值	方差
6.9	7.5	8	16	1	18.69

经过一年的“读书伴我行”阅读活动，某社区再次对这部分居民的年阅读量进行调查，并对收集的数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息.

a.居民的年阅读量统计表如下：

阅读量	2	4	5	8	9	10	11	12	13	16	21
人数	5	5	5	3	2	m	5	5	3	7	n

b.分组整理后的居民阅读量统计表、统计图如下：

组别	阅读量/本	频数
$A$	$1 \leq x < 6$	15
$B$	$6 \leq x < 11$
$C$	$11 \leq x < 16$	13
$D$	$16 \leq x \leq 21$

c.居民阅读量的平均数、中位数、众数、最大值、最小值、方差如下：

平均数	中位数	众数	最大值	最小值	方差
10.4	10.5	q	21	2	30.83

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、样本容量为；

(2)、

m =

；

p =

；

q =

；

(3)、根据社区开展“读书伴我行”阅读活动前、后随机抽取的部分居民阅读量的两组调查结果，请至少从两个方面对社区开展阅读活动的效果进行评价.

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18. 宝轮寺塔——中国四大回音建筑之一，位于三门峡市陕州风景区，始建于隋唐时期，因能发出“呱呱”的声音而俗称“蛤蟆塔”.当地某校数学实践活动小组的同学们一起对该塔的高度（ $A B$ ）进行测量.因塔底部 $B$ 无法直接到达，制定了如下的测量方案：先在该塔正前方广场地面 $C$ 处测得塔尖 $A$ 的仰角（ $∠ A C B$ ）为45°，因广场面积有限，无法再向 $C$ 点的正后方移动，故操控无人机飞到 $C$ 点正上方10米的 $D$ 处测得塔尖 $A$ 的仰角为32°， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点在同一个平面内，求塔高（ $A B$ ）为多少米.（结果精确到0.1米，参考数据： $\sin 32 ° \approx 0.53$ ， $\cos 32 ° \approx 0.85$ ， $\tan 32 ° \approx 0.62$ ）

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19. 为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市对居民用水实行阶梯水价.居民家庭每月用水量划分为三个阶梯，一、二、三级阶梯用水的单价之比等于 $1 ： 1.5 ： 2$ .如图，折线表示实行阶梯水价后每月水费 $y$ （元）与用水量 $x$ （ $m^{3}$ ）之间的函数关系.其中线段 $A B$ 表示第二级阶梯时 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系.

(1)、写出点 $B$ 的实际意义；

(2)、求线段 $A B$ 所在直线的表达式；

(3)、某户5月份缴水费108元，求相应用水量为多少立方米？

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20. 小锐同学是一个数学学习爱好者，他在一本数学课外读物上看到一个课本上没有的与圆相关的角---弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫做弦切角），并尝试用所学的知识研究弦切角的有关性质.

(1)、如图，直线 $A B$ 与⊙O相切于 $C$ 点， $D$ ， $E$ 为⊙O上不同于 $C$ 的两点，连接 $C E$ ， $D E$ ， $C D$ .请你写出图中的两个弦切角；（不添加新的字母和线段）

(2)、小锐目测 $∠ D C B$ 和 $∠ D E C$ 可能相等，并通过测量的方法验证了他的结论，你能帮小锐用几何推理的方法证明结论的正确性吗？
已知：如图，直线 $A B$ 与⊙O相切于 $C$ 点， $D$ ， $E$ 为圆上不同于 $C$ 的两点，连接 $C E$ ， $D E$ ， $C D$ .

求证： $∠ D C B = ∠ D E C$ .

(3)、如果我们把上述结论称为弦切角定理，请你用一句话概括弦切角定理.

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21. 已知抛物线 $L$ ： $y = - x^{2} + 2 n x - n^{2} + 3$ 和点 $A (0 ， - 1)$ ， $B (5 ， - 1)$ .

(1)、直接写出抛物线 $L$ 的顶点坐标（用含 $n$ 的式子表示）；

(2)、试分析抛物线 $L$ 与线段 $A B$ 有公共点的个数情况，并写出相应的 $n$ 的取值范围.

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22. 如图，点

C

是以

A B

为直径的半圆上一点，连接

A C

，点

P

是

A C

上一个动点，连接

B P

，作

P D ⊥ B P

交

A B

于点

D

，交半圆于点

E

.已知：

A C = 8 cm

，设

P C

的长度为

x cm

，

P D

的长度为

y_{1} cm

，

P E

的长度为

y_{2} cm

（当点

P

与点

C

重合时，

y_{1} = 8

，

y_{2} = 0

，当点

P

与点

A

重合时，

y_{1} = 0

，

y_{2} = 0

）.

小锐同学根据学习函数的经验，分别对函数 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 随自变量 $x$ 变化而变化的规律进行了探究.

下面是小锐同学的探究过程，请补充完整：

(1)、按照下表中自变量

x

的值进行取点、画图、测量，分别得到了

y_{1}

，

y_{2}

与

x

的几组对应值，请补全表格：

$x /$ cm	0	1	2	3	4	5	6	7	8
$y_{1} /$ cm	8.00	5.81	4.38	3.35	2.55	1.85	1.21	0.60	0.00
$y_{2} /$ cm	0.00	0.90	$a$	2.24	2.67	2.89	2.83	2.34	0.00

上表中 $a =$ .（精确到0.1）

(2)、在同一平面直角坐标系

x O y

中，描出补全后的表中各组数值所对应的点

(x ， y_{1})

，

(x ， y_{2})

，并画出函数

y_{1}

，

y_{2}

的图象（

y_{1}

已经画出）；

(3)、结合函数图象解决问题：

①当 $P D$ ， $P E$ 的长都大于 $2 c m$ 时， $P C$ 长度的取值范围约是 ▲ ；（精确到0.1）

②继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，判断点 $C$ ， $D$ ， $E$ 能否在以 $P$ 为圆心的同一个圆上？（填“能”或“否”）

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23. 如图

(1)、问题发现：
如图1，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别在边 $A B$ ， $C D$ ， $A D$ ， $B C$ 上，且 $E F ⊥ G H$ ，则 $\frac{E F}{G H} =$ ；

(2)、类比探究：
如图2，在（1）的条件下，把“正方形 $A B C D$ ”改为“矩形 $A B C D$ ，且 $A B = m$ ， $B C = n$ ”其它条件不变，则 $\frac{E F}{G H} =$ ▲ ，证明你的结论；

(3)、拓展应用：
如图3，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 8$ ， $B C = 6$ ，点 $D$ 为 $A C$ 的中点，连接 $B D$ ，点 $E$ 为 $A B$ 上一点， $C E ⊥ B D$ ，则 $C E =$ .

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