高中数学人教A版（2019）选修二第四章数列

试卷更新日期：2021-09-27 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} + a_{10} = 16$ ， $a_{8} = 11$ ，则 $S_{7} =$ （）

A、30 B、35 C、42 D、56

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2. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} + a_{5} + a_{8} = 42$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前9项和 $S_{9}$ 等于 $($ $)$

A、126 B、130 C、147 D、210

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3. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} + a_{3} = 3, a_{2} + a_{4} = 6 ，$ 则 $S_{8} =$ （）

A、45 B、81 C、117 D、153

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4. 数列 ${\frac{2}{a_{n} + 1}}$ 是等差数列，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = - \frac{1}{3}$ ，那么 $a_{5} =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、5 D、-5

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5. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $2$ ，若 $a_{1}, a_{3}, a_{4}$ 成等比数列，则数列 ${a_{n}}$ 的前8 项和为（）

A、-20 B、-18 C、-8 D、-10

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6. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{4} + a_{5} = 24, S_{6} = 48$ ，则公差d的值为：（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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7. 数列1，6，15，28，45，...中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第10个六边形数为（）

A、153 B、190 C、231 D、276

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和是 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ，若 $a_{n} \in (0, 2021)$ ，则称项 $a_{n}$ 为“和谐项”，则数列 ${a_{n}}$ 的所有“和谐项”的和为（）

A、1022 B、1023 C、2046 D、2047

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二、多选题

9. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ,则下列说法正确的是（）

A、若 $S_{n} = n^{2} - 1,$ 则 ${a_{n}}$ 是等差数列 B、若 $S_{n} = 2^{n} - 1,$ 则 ${a_{n}}$ 是等比数列 C、若 ${a_{n}}$ 是等差数列，则 $S_{99} = 99 a_{50}$ D、若 ${a_{n}}$ 是等比数列，且 $a_{1} > 0, q > 0,$ 则 $S_{2 n - 1} \cdot S_{2 n + 1} > S_{2 n}^{2}$

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10. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列 ${a_{n}}$ ，则（）

A、 $a_{4} = 12$ B、 $a_{n + 1} = a_{n} + n + 1$ C、 $a_{100} = 5050$ D、 $2 a_{n + 1} = a_{n} \cdot a_{n + 2}$

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11. 设 ${a_{n}}$ 是等差数列， $S_{n}$ 是其前 $n$ 项的和，且 $S_{5} < S_{6}$ ， $S_{6} = S_{7} > S_{8}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $d > 0$ B、 $a_{7} = 0$ C、 $S_{9} > S_{5}$ D、 $S_{6}$ 与 $S_{7}$ 均为 $S_{n}$ 的最大值

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12. 在数列 ${a_{n}}$ 中，若 $\frac{a_{n + 2} - a_{n + 1}}{a_{n + 1} - a_{n}} = k$ （ $k$ 为常数），则称 ${a_{n}}$ 为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断错误的是（）

A、 $k$ 不可能为 $0$ B、“等差比数列”中的项不可能为 $0$ C、等差数列一定是“等差比数列” D、等比数列一定是“等差比数列”

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三、填空题

13. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，数列 ${b_{n}}$ 是等比数列，满足： $a_{1000} + a_{1018} = 2 π$ ， $b_{6} b_{2012} = 2$ ，则 $tan \frac{a_{2} + a_{2016}}{1 + b_{3} b_{2015}} =$ ．

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14. 等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和记为 $S_{n}$ ，若 $\frac{S_{2 n}}{S_{n}} = 3$ ，则 $\frac{S_{3 n}}{S_{2 n}} =$ ．

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15. 设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 ${a_{n}}$ 的前2017项中的奇数项和为2018，
则 $S_{2017}$ 的值为．

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1}$ =1， $a_{n} - a_{n + 1} = 2 a_{n} a_{n + 1}$ ，则 $a_{n}$ = ．

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四、解答题

17. 已知公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{6}$ 成等比数列.
(Ⅰ)求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
(Ⅱ)记 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3}, a_{4}, a_{5}$ 依次是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且 $a_{1} = 32$ ，公比 $q \neq 1$

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = - {log}_{2} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{4} = 7, 2 a_{3} + a_{5} = 19$ 。

(1)、求通项 $a_{n}$ ；

(2)、设 ${b_{n} - a_{n}}$ 是首项为2，公比为2的等比数列，求数列 ${b_{n}}$ 通项公式及前n项和 $T_{n}$ .

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20. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．已知 $a_{1} b_{1} = 2$ ， $S_{2} = 6$ ， $S_{3} = 12$ ， $T_{2} = \frac{4}{3}$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、是否存在正整数 $k$ ，使得 $S_{k} < 6 k$ 且 $T_{k} > \frac{13}{9}$ ？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

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21. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = (1 + \frac{1}{n}) a_{n} + \frac{n + 1}{2^{n}}$ .

(1)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{n}$ ，求 $b_{n + 1} - b_{n}$ ；

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(3)、求数列 ${2 n - a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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22. 在① $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{21}$ 成等比数列② $S_{4} = 28$ ，③ $S_{n + 1} = S_{n} + a_{n} + 4$ ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并做出解答．
已知 ${a_{n}}$ 是公差不为零的等差数列， $S_{n}$ 为其n前项和， $a_{2} = 5$ ，_______， ${b_{n}}$ 是等比数列， $b_{2} = 9$ ， $b_{1} + b_{3} = 30$ ，公比 $q > 1$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的所有项分别构成集合A ， B ，将 $A \cup B$ 的元素按从小到大依次排列构成一个新数列 ${c_{n}}$ ，求 $T_{80} = c_{1} + c_{2} + c_{3} + \dots + c_{80}$ ．

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一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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