江苏中考数学历年真题分类卷7 函数综合题和压轴题

试卷更新日期：2021-09-27 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A B / / D C ， D E ⊥ A B ， C F ⊥ A B$ ，垂足分别为E，F，且 $A E = E F = F B = 5 cm$ ， $D E = 12 cm$ .动点P，Q均以 $1 cm / s$ 的速度同时从点A出发，其中点P沿折线 $A D - D C - C B$ 运动到点B停止，点Q沿 $A B$ 运动到点B停止，设运动时间为 $t (s)$ ， $△ A P Q$ 的面积为 $y ({cm}^{2})$ ，则y与t对应关系的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控.该商品的价格 $y_{1}$ （元/件）随时间t（天）的变化如图所示，设 $y_{2}$ （元/件）表示从第1天到第t天该商品的平均价格，则 $y_{2}$ 随t变化的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 设 $P (x ， y_{1})$ ， $Q (x ， y_{2})$ 分别是函数 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 图象上的点，当 $a \leq x \leq b$ 时，总有 $- 1 \leq y_{1} - y_{2} \leq 1$ 恒成立，则称函数 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 在 $a \leq x \leq b$ 上是“逼近函数”， $a \leq x \leq b$ 为“逼近区间”.则下列结论：
①函数 $y = x - 5$ ， $y = 3 x + 2$ 在 $1 \leq x \leq 2$ 上是“逼近函数”；②函数 $y = x - 5$ ， $y = x^{2} - 4 x$ 在 $3 \leq x \leq 4$ 上是“逼近函数”；③ $0 \leq x \leq 1$ 是函数 $y = x^{2} - 1$ ， $y = 2 x^{2} - x$ 的“逼近区间”；④ $2 \leq x \leq 3$ 是函数 $y = x - 5$ ， $y = x^{2} - 4 x$ 的“逼近区间”.其中，正确的有（）

A、②③ B、①④ C、①③ D、②④

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4. 在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $A C = 8$ ，点P是 $△ A B C$ 所在平面内一点，则 $P A^{2} + P B^{2} + P C^{2}$ 取得最小值时，下列结论正确的是（）

A、点P是 $△ A B C$ 三边垂直平分线的交点 B、点P是 $△ A B C$ 三条内角平分线的交点 C、点P是 $△ A B C$ 三条高的交点 D、点P是 $△ A B C$ 三条中线的交点

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5. 如图，线段 $A B = 10$ ，点 $C$ 、 $D$ 在 $A B$ 上， $A C = B D = 1$ .已知点 $P$ 从点 $C$ 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着 $A B$ 向点 $D$ 移动，到达点 $D$ 后停止移动，在点 $P$ 移动过程中作如下操作：先以点 $P$ 为圆心， $P A$ 、 $P B$ 的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面.设点 $P$ 的移动时间为（秒）.两个圆锥的底面面积之和为 $S$ .则 $S$ 关于 $t$ 的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，点P是函数 $y = \frac{k_{1}}{x} (k_{1} > 0 ， x > 0)$ 的图像上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数 $y = \frac{k_{2}}{x} (k_{2} > 0 ， x > 0)$ 的图像于点C、D，连接 $O C$ 、 $O D$ 、 $C D$ 、 $A B$ ，其中 $k_{1} > k_{2}$ ，下列结论：① $C D / / A B$ ；② $S_{△ O C D} = \frac{k_{1} - k_{2}}{2}$ ；③ $S_{△ D C P} = \frac{{(k_{1} - k_{2})}^{2}}{2 k_{1}}$ ，其中正确的是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①

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7. 如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s.现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm²），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（）

A、96cm² B、84cm² C、72cm² D、56cm²

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8. 如图，△ABC中，AB=AC=2，∠B=30°，△ABC绕点A逆时针旋转α(0<α<120°)得到 $Δ A B^{'} C^{'}$ ， $B^{'} C^{'}$ 与BC，AC分别交于点D，E.设 $C D + D E = x$ ， $Δ A E C^{'}$ 的面积为 $y$ ，则 $y$ 与 $x$ 的函数图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 随着时代的进步，人们对 $P M 2.5$ （空气中直径小于等于 $2.5$ 微米的颗粒）的关注日益密切.某市一天中 $P M 2.5$ 的值 $y_{1}$ （ $u g / m^{3}$ ）随时间 $t$ （ $h$ ）的变化如图所示，设 $y_{2}$ 表示 $0$ 时到 $t$ 时 $P M 2.5$ 的值的极差（即 $0$ 时到 $t$ 时 $P M 2.5$ 的最大值与最小值的差），则 $y_{2}$ 与 $t$ 的函数关系大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、综合题

10. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，正比例函数 $y = k x (k \neq 0)$ 和二次函数 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + b x + 3$ 的图象都经过点 $A (4 ， 3)$ 和点B，过点A作 $O A$ 的垂线交x轴于点C.D是线段 $A B$ 上一点（点D与点A、O、B不重合），E是射线 $A C$ 上一点，且 $A E = O D$ ，连接 $D E$ ，过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，以 $D E$ 、 $D F$ 为邻边作 $▱ D E G F$ .

(1)、填空： $k =$ ， $b =$ ；

(2)、设点D的横坐标是 $t (t > 0)$ ，连接 $E F$ .若 $∠ F G E = ∠ D F E$ ，求t的值；

(3)、过点F作 $A B$ 的垂线交线段 $D E$ 于点P.若 $S_{△ D F P} = \frac{1}{3} S_{▱ D E G F}$ ，求 $O D$ 的长.

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11. 为了防控新冠疫情，某地区积极推广疫苗接种工作，卫生防疫部门对该地区八周以来的相关数据进行收集整理，绘制得到如下图表：

该地区每周接种疫苗人数统计表

周次

第1周

第2周

第3周

第4周

第5周

第6周

第7周

第8周

接种人数（万人）

该地区全民接种疫苗情况扇形统计图

A：建议接种疫苗已接种人群

B：建议接种疫苗尚未接种人群

C：暂不建议接种疫苗人群

根据统计表中的数据，建立以周次为横坐标，接种人数为纵坐标的平面直角坐标系，并根据以上统计表中的数据描出对应的点，发现从第3周开始这些点大致分布在一条直线附近，现过其中两点 $(3 ， 12)$ 、 $(8 ， 42)$ 作一条直线（如图所示，该直线的函数表达式为 $y = 6 x - 6$ ），那么这条直线可近似反映该地区接种人数的变化趋势.

请根据以上信息，解答下列问题：

(1)、这八周中每周接种人数的平均数为万人：该地区的总人口约为万人；

(2)、若从第9周开始，每周的接种人数仍符合上述变化趋势.

①估计第9周的接种人数约为 ▲ 万人；

②专家表示：疫苗接种率至少达60%，才能实现全民免疫.那么，从推广疫苗接种工作开始，最早到第几周，该地区可达到实现全民免疫的标准？

(3)、实际上，受疫苗供应等客观因素，从第9周开始接种人数将会逐周减少

a (a > 0)

万人，为了尽快提高接种率，一旦周接种人数低于20万人时，卫生防疫部门将会采取措施，使得之后每周的接种能力一直维持在20万人.如果

a = 1.8

，那么该地区的建议接种人群最早将于第几周全部完成接种？

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12. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线 $y = - x + 3$ 与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段 $O B$ 上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交 $B C$ 于点F，交二次函数 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 的图象于点E.

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、当以C、E、F为顶点的三角形与 $△ A B C$ 相似时，求线段 $E F$ 的长度；

(3)、已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线 $E C$ 对称，求点N的坐标.

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13. 将一张三角形纸片ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点A(﹣6，0)，点B(0，2)，点C(﹣4，8)，二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，该抛物线的对称轴经过点C，顶点为D.

(1)、求该二次函数的表达式及点D的坐标；

(2)、点M在边AC上（异于点A，C），将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上，点M的对应点记为点N，折痕所在直线l交抛物线的对称轴于点P，然后将纸片展开.
①请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线l；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

②连接MP，NP，在下列选项中：A.折痕与AB垂直，B.折痕与MN的交点可以落在抛物线的对称轴上，C. $\frac{M N}{M P}$ ＝ $\frac{3}{2}$ ，D. $\frac{M N}{M P}$ ＝ $\sqrt{2}$ ，所有正确选项的序号是 .

③点Q在二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象上，当 $△$ PDQ∼ $△$ PMN时，求点Q的坐标.

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14. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ $\frac{1}{4}$ x²＋bx＋c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（5，0），顶点为点D，动点M、Q在x轴上（点M在点Q的左侧），在x轴下方作矩形MNPQ，其中MQ＝3，MN＝2.矩形MNPQ沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动开始时，点M的坐标为（﹣6，0），当点M与点B重合时停止运动，设运动的时间为t秒（t＞0）.

(1)、b＝， c＝.

(2)、连接BD，求直线BD的函数表达式.

(3)、在矩形MNPQ运动的过程中，MN所在直线与该二次函数的图象交于点G，PQ所在直线与直线BD交于点H，是否存在某一时刻，使得以G、M、H、Q为顶点的四边形是面积小于10的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

(4)、连接PD，过点P作PD的垂线交y轴于点R，直接写出在矩形MNPQ整个运动过程中点R运动的路径长.

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15. 如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与x轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C.连接AC，BC，点P在抛物线上运动.

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBA $+$ 45°时，求点P的坐标；

(3)、如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长.

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16. 如图，二次函数 $y = x^{2} - (m + 1) x + m$ （ $m$ 是实数，且 $- 1 < m < 0$ ）的图象与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），其对称轴与 $x$ 轴交于点 $C$ ，已知点 $D$ 位于第一象限，且在对称轴上， $O D ⊥ B D$ ，点 $E$ 在 $x$ 轴的正半轴上， $O C = E C$ .连接 $E D$ 并延长交 $y$ 轴于点 $F$ ，连接 $A F$ .

(1)、求 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点的坐标（用数字或含 $m$ 的式子表示）；

(2)、已知点 $Q$ 在抛物线的对称轴上，当 $△ A F Q$ 的周长的最小值等于 $\frac{12}{5}$ ，求 $m$ 的值.

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17. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图像与x轴交于点. $A (- 1 ， 0)$ 、 $B (3 ， 0)$ ，与y轴交于点C.

(1)、 $b =$ ， $c =$ ；

(2)、若点D在该二次函数的图象上，且 $S_{△ A B D} = 2 S_{△ A B C}$ ，求点D的坐标；

(3)、若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且 $S_{△ A P C} = S_{△ A P B}$ ，直接写出点P的坐标.

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18. 如图，抛物线 $y = m x^{2} + (m^{2} + 3) x - (6 m + 9)$ 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知 $B (3 ， 0)$ .

(1)、求m的值和直线 $B C$ 对应的函数表达式；

(2)、P为抛物线上一点，若 $S_{△ P B C} = S_{△ A B C}$ ，请直接写出点P的坐标；

(3)、Q为抛物线上一点，若 $∠ A C Q = 45 °$ ，求点Q的坐标.

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19. 如图，在平面直角坐标系中，函数 $y = - a x^{2} + 2 a x + 3 a$ $(a > 0)$ 的图像交 $x$ 轴于点 $A$ 、 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，它的对称轴交 $x$ 轴于点 $E$ .过点 $C$ 作 $C D / / x$ 轴交抛物线于点 $D$ ，连接 $D E$ 并延长交 $y$ 轴于点 $F$ ，交抛物线于点 $G$ .直线 $A F$ 交 $C D$ 于点 $H$ ，交抛物线于点 $K$ ，连接 $H E$ 、 $G K$ .

备用图

(1)、点 $E$ 的坐标为：；

(2)、当 $Δ H E F$ 是直角三角形时，求 $a$ 的值；

(3)、 $H E$ 与 $G K$ 有怎样的位置关系？请说明理由.

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20. 如图，二次函数 $y_{1} = a {(x - m)}^{2} + n$ 、 $y_{2} = 6 a x^{2} + n$ $(a < 0 ， m > 0 ， n > 0)$ 的图像分别为 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ ， $C_{1}$ 交 $y$ 轴于点 $P$ ，点 $A$ 在 $C_{1}$ 上，且位于 $y$ 轴右侧，直线 $P A$ 与 $C_{2}$ 在 $y$ 轴左侧的交点为 $B$ .

(1)、若 $P$ 点的坐标为 $(0 ， 2)$ ， $C_{1}$ 的顶点坐标为 $(2 ， 4)$ ，求 $a$ 的值；

(2)、设直线 $P A$ 与 $y$ 轴所夹的角为 $α$ .
①当 $α = 45 °$ ，且 $A$ 为 $C_{1}$ 的顶点时，求 $a m$ 的值；

②若 $α = 90 °$ ，试说明：当 $a$ 、 $m$ 、 $n$ 各自取不同的值时， $\frac{P A}{P B}$ 的值不变；

(3)、若 $P A = 2 P B$ ，试判断点 $A$ 是否为 $C_{1}$ 的顶点？请说明理由.

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21. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + 3$ 的图象与x轴交于A(2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，顶点为E.

(1)、求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；

(2)、如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；

(3)、如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标.

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22. 若二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像与x轴有两个交点 $M (x_{1} ， 0) ， N (x_{2} ， 0) (0 < x_{1} < x_{2})$ ，且经过点 $A (0 ， 2) ，$ 过点A的直线l与x轴交于点 $C ，$ 与该函数的图象交于点B（异于点A）.满足 $△ A C N$ 是等腰直角三角形，记 $△ A M N$ 的面积为 $S_{1} ， △ B M N$ 的面积为 $S_{2}$ ，且 $S_{2} = \frac{5}{2} S_{1}$ .

(1)、抛物线的开口方向（填“上”或“下”）；

(2)、求直线 $l$ 相应的函数表达式；

(3)、求该二次函数的表达式.

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23. 以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题

1 ~ 4

Ⅰ.在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A B = 2 \sqrt{2}$ ，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到，组数据如下表：（单位：厘米）

$A C$	2.8	2.7	2.6	2.3	2	1.5	0.4
$B C$	0.4	0.8	1.2	1.6	2	2.4	2.8
$A C + B C$	3.2	3.5	3.8	3.9	4	3.9	3.2

Ⅱ.根据学习函数的经验，选取上表中 $B C$ 和 $A C + B C$ 的数据进行分析；

$①$ 设 $B C = x ， A C + B C = y$ ，以 $(x ， y)$ 为坐标，在图 $①$ 所示的坐标系中描出对应的点；

$②$ 连线；

Ⅲ.观察思考

结合表中的数据以及所面的图像，猜想.当 $x =$ ▲ 时，y最大；

Ⅳ.进一步C猜想：若 $R t △ M B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，斜边 $A B = 2 a (a$ 为常数， $a > 0$ ），则 $B C =$ ▲ 时， $A C + B C$ 最大.

推理证明

Ⅴ.对（4）中的猜想进行证明.

(1)、问题1.在图

①

中完善（1）的描点过程，并依次连线；

(2)、问题2.补全观察思考中的两个猜想：Ⅲ；Ⅳ。

(3)、问题3.证明上述Ⅴ中的猜想：

(4)、问题4.图

②

中折线

B - E - F - G - A

是一个感光元件的截面设计草图，其中点

A ， B

间的距离是4厘米，

A G = B E = 1

厘米，

∠ E = ∠ F = ∠ G = 90^{\circ} ，

平行光线从

A B

区域射入，

∠ B N E = 60^{\circ} ，

线段

F M 、 F N

为感光区城，当

E F

的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值.

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24. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线 $O A$ 交二次函数 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的图像于点A， $∠ A O B = 90 °$ ，点 $B$ 在该二次函数的图象上，设过点 $(0 ， m)$ （其中 $m > 0$ ）且平行于 $x$ 轴的直线交直线 $O A$ 于点M，交直线 $O B$ 于点N，以线段 $O M$ 、 $O N$ 为邻边作矩形 $O M P N$ .

(1)、若点A的横坐标为8.
①用含m的代数式表示M的坐标；

②点 $P$ 能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由；

(2)、当 $m = 2$ 时，若点 $P$ 恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线 $O A$ 的函数表达式.

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25. 如图，二次函数 $y = x^{2} + b x$ 的图像与 $x$ 轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧），与抛物线对称轴交于点 $D (2 ， - 3)$ .

(1)、求b的值；

(2)、设P、Q是x轴上的点（点P位于点Q左侧），四边形 $P B C Q$ 为平行四边形.过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点 $P^{'} (x_{1} ， y_{1})$ 、 $Q^{'} (x_{2} ， y_{2})$ .若 $| y_{1} - y_{2} | = 2$ ，求 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 的值.

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”.如图，抛物线 $L_{1} ： y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x - 2$ 的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C.抛物线 $L_{2}$ 与 $L_{1}$ 是“共根抛物线”，其顶点为P.

(1)、若抛物线 $L_{2}$ 经过点 $(2 ， - 12)$ ，求 $L_{2}$ 对应的函数表达式；

(2)、当 $B P - C P$ 的值最大时，求点P的坐标；

(3)、设点Q是抛物线 $L_{1}$ 上的一个动点，且位于其对称轴的右侧.若 $△ D P Q$ 与 $△ A B C$ 相似，求其“共根抛物线” $L_{2}$ 的顶点P的坐标.

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27. 如图①，二次函数 $y = - x^{2} + b x + 4$ 的图象与直线l交于 $A (- 1 ， 2)$ 、 $B (3 ， n)$ 两点.点P是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线l于点M，交该二次函数的图象于点N，设点P的横坐标为m.

(1)、 $b =$ ， $n =$ ；

(2)、若点N在点M的上方，且 $M N = 3$ ，求m的值；

(3)、将直线 $A B$ 向上平移4个单位长度，分别与x轴、y轴交于点C、D（如图②）.
①记 $Δ N B C$ 的面积为 $S_{1}$ ， $Δ N A C$ 的面积为 $S_{2}$ ，是否存在m，使得点N在直线 $A C$ 的上方，且满足 $S_{1} - S_{2} = 6$ ？若存在，求出m及相应的 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 的值；若不存在，请说明理由.

②当 $m > - 1$ 时，将线段 $M A$ 绕点M顺时针旋转 $90^{\circ}$ 得到线段 $M F$ ，连接 $F B$ 、 $F C$ 、 $O A$ ，若 $∠ F B A + ∠ A O D - ∠ B F C = 45 °$ ，直接写出直线 $O F$ 与该二次函数图象交点的横坐标.

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28. 如图，二次函数 $y = x^{2} + b x + 3$ 的图像与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点 $C (1 ， 0)$ ，且顶点为D，连接 $A C$ 、 $B C$ 、 $B D$ 、 $C D$ .

(1)、填空： $b =$ ；

(2)、点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线 $P C$ 交直线 $B D$ 于点Q.若 $∠ C Q D = ∠ A C B$ ，求点P的坐标；

(3)、点E在直线 $A C$ 上，点E关于直线 $B D$ 对称的点为F，点F关于直线 $B C$ 对称的点为G，连接 $A G$ .当点F在x轴上时，直接写出 $A G$ 的长.

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29. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为 $(5，0)$ ，点D的坐标为 $(1，3)$ .

(1)、求该二次函数的表达式；

(2)、点E是线段BD上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且 $E D = E F$ ，求点E的坐标.

(3)、试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得 $Δ A D G$ 的面积是 $Δ B D G$ 的面积的 $\frac{3}{5}$ ？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.

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30. 如图，二次函数 $y = - x^{2} + 4 x + 5$ 图象的顶点为 $D$ ，对称轴是直线 $l$ ，一次函数 $y = \frac{2}{5} x + 1$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A$ ，且与直线 $D A$ 关于 $l$ 的对称直线交于点 $B$ .

(1)、点 $D$ 的坐标是；

(2)、直线 $l$ 与直线 $A B$ 交于点 $C$ ， $N$ 是线段 $D C$ 上一点（不与点 $D$ 、 $C$ 重合），点 $N$ 的纵坐标为 $n$ .过点 $N$ 作直线与线段 $D A$ 、 $D B$ 分别交于点 $P$ ， $Q$ ，使得 $Δ D P Q$ 与 $Δ D A B$ 相似.
①当 $n = \frac{27}{5}$ 时，求 $D P$ 的长；

②若对于每一个确定的 $n$ 的值，有且只有一个 $Δ D P Q$ 与 $Δ D A B$ 相似，请直接写出 $n$ 的取值范围.

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31. 学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动.在相距 $150$ 个单位长度的直线跑道 $A B$ 上，机器人甲从端点 $A$ 出发，匀速往返于端点 $A$ 、 $B$ 之间，机器人乙同时从端点 $B$ 出发，以大于甲的速度匀速往返于端点 $B$ 、 $A$ 之间.他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计.兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种.

(1)、【观察】
①观察图 $1$ ，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$ 之间的距离为 $30$ 个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$ 之间的距离为个单位长度；

②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$ 之间的距离为 $40$ 个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$ 之间的距离为个单位长度；

(2)、【发现】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$ 之间的距离为 $x$ 个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$ 之间的距离为 $y$ 个单位长度.兴趣小组成员发现了 $y$ 与 $x$ 的函数关系，并画出了部分函数图象（线段 $O P$ ，不包括点 $O$ ，如图 $2$ 所示）.

① $a$ ＝；

②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图 $2$ 中补全函数图象；

(3)、【拓展】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$ 之间的距离为 $x$ 个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$ 之间的距离为 $y$ 个单位长度.若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$ 之间的距离 $y$ 不超过 $60$ 个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$ 之间的距离 $x$ 的取值范围是.（直接写出结果）

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32. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L₁： $y = x^{2} + b x + c$ 过点C(0，﹣3)，与抛物线L₂： $y = - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x + 2$ 的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L₁、抛物线L₂上的动点.

(1)、求抛物线L₁对应的函数表达式；

(2)、若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；

(3)、设点R为抛物线L₁上另一个动点，且CA平分∠PCR，若OQ∥PR，求出点Q的坐标.

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33. 如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：

（Ⅰ）将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图②；
（Ⅱ）在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B'处，如图③，两次折痕交于点O；
（Ⅲ）展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图④．
【探究】

(1)、证明：△OBC≌△OED：

(2)、若AB＝8，设BC为x，OB²为y，求y关于x的关系式.

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34. 如图所示・二次函数 $y = k {(x - 1)}^{2} + 2$ 的图像与一次函数 $y = k x - k + 2$ 的图像交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0.

(1)、求A、B两点的横坐标；

(2)、若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；

(3)、二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

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35. 如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 交 $x$ 轴于 $A$ 、 $B$ 两点，其中点 $A$ 坐标为 $(1 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， - 3)$ .

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、如图①，连接 $A C$ ，点 $P$ 在抛物线上，且满足 $∠ P A B = 2 ∠ A C O$ .求点 $P$ 的坐标；

(3)、如图②，点 $Q$ 为 $x$ 轴下方抛物线上任意一点，点 $D$ 是抛物线对称轴与 $x$ 轴的交点，直线 $A Q$ 、 $B Q$ 分别交抛物线的对称轴于点 $M$ 、 $N$ .请问 $D M + D N$ 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

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36. 问题呈现
如图，四边形ABCD是矩形，AB=20，BC=10，以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC，∠G=90°，点M在线段AB上，且AM=a，点P沿折线AD-DG运动，点Q沿折线BC-CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ∥AB.设PQ与AB之间的距离为x.

(1)、若a=12.
①如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，则x的值为；

②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；

(2)、如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a的取值范围.

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37. 【概念认识】
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A( $x_{1}$ ， $y_{1}$ )和B( $x_{2}$ ， $y_{2}$ )，用以下方式定义两点间距离：d(A，B)＝ $| x_{1} - x_{2} |$ ＋ $| y_{1} - y_{2} |$ .

(1)、【数学理解】①已知点A(﹣2，1)，则d(O，A)＝；②函数 $y = - 2 x + 4$ (0≤x≤2)的图像如图①所示，B是图像上一点，d(O，B)＝3，则点B的坐标是.

(2)、函数 $y = \frac{4}{x}$ (x＞0)的图像如图②所示，求证：该函数的图象上不存在点C，使d(O，C)＝3.

(3)、函数 $y = x^{2} - 5 x + 7$ (x≥0)的图像如图③所示，D是图像上一点，求d(O，D)的最小值及对应的点D的坐标.

(4)、【问题解决】某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）

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