江苏中考数学历年真题分类卷10 锐角三角函数

试卷更新日期：2021-09-27 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 如图，小明想要测量学校操场上旗杆 $A B$ 的高度，他作了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角 $∠ A C E = α$ ；（2）量得测角仪的高度 $C D = a$ ；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离 $D B = b$ .利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）

A、 $a + b \tan α$ B、 $a + b \sin α$ C、 $a + \frac{b}{\tan α}$ D、 $a + \frac{b}{\sin α}$

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二、填空题

2. 如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东 $60 °$ 方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东 $45 °$ 方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为海里（结果保留根号）.

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3. 一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为米.

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4. 如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°.若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为m.（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

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5. 如图，无人机于空中 $A$ 处测得某建筑顶部 $B$ 处的仰角为 $45^{\circ}$ ，测得该建筑底部 $C$ 处的俯角为 $17^{\circ}$ .若无人机的飞行高度 $A D$ 为 $62 m$ ，则该建筑的高度 $B C$ 为 $m$ .（参考数据： $\sin 17^{\circ} \approx 0.29$ ， $\cos 17^{\circ} \approx 0.96$ ， $\tan 17^{\circ} \approx 0.31$ ）

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三、解答题

6. 如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上.求山顶D的高度.（精确到1m，sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）

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7. 如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C的仰角为28°、铁塔底部D的俯角为40°，求铁塔CD的高度.
（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）

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8. 一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1米，参考数据： $\sqrt{2} \approx$ 1.414， $\sqrt{3} \approx$ =1.732).

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9. 如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D.测得 $C D = 80 m$ ， $∠ A C D = 90 °$ ， $∠ B C D = 45 °$ ， $∠ A D C = 19 ° 1 7^{'}$ ， $∠ B D C = 56 ° 1 9^{'}$ ，设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离.（参考数据： $\tan 19 ° 1 7^{'} \approx 0.35 ， \tan 56 ° 1 9^{'} \approx 1.50$ .）

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10. 小红和爸爸绕着小区广场锻炼如图在矩形广场 $A B C D$ 边 $A B$ 的中点 $M$ 处有一座雕塑.在某一时刻，小红到达点 $P$ 处，爸爸到达点 $Q$ 处，此时雕塑在小红的南偏东 $45 °$ 方向，爸爸在小红的北偏东 $60 °$ 方向，若小红到雕塑的距离 $P M = 30 m$ ，求小红与爸爸的距离 $P Q$ .（结果精确到 $1 m$ ，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sqrt{6} \approx 2.45$ ）

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11. 如图，点E与树AB的根部点A、建筑物CD的底部点C在一条直线上，AC＝10m.小明站在点E处观测树顶B的仰角为30°，他从点E出发沿EC方向前进6m到点G时，观测树顶B的仰角为45°，此时恰好看不到建筑物CD的顶部D（H、B、D三点在一条直线上）.已知小明的眼睛离地面1.6m，求建筑物CD的高度（结果精确到0.1m）.（参考数据： $\sqrt{2}$ ≈1.41， $\sqrt{3}$ ≈1.73.）

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12. 我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面 $15 m$ 的 $A$ 处测得在 $C$ 处的龙舟俯角为 $23 °$ ；他登高 $6 m$ 到正上方的 $B$ 处测得驶至 $D$ 处的龙舟俯角为 $50 °$ ，问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到 $1 m$ ，参考数据： $\tan 23 ° \approx 0.42$ ， $\tan 40 ° \approx 0.84$ ， $\tan 50 ° \approx 1.19$ ， $\tan 67 ° \approx 2.36$ ）

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13. 如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，AB=2km，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站B测得船C在北偏西30°的方向.求船C离观测站A的距离.

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14. 如图，在港口A处的正东方向有两个相距 $6 k m$ 的观测点B、C，一艘轮船从A处出发，北偏东 $26 °$ 方向航行至D处，在B、C处分别测得 $∠ A B D = 45 °$ ， $∠ C = 37 °$ 求轮船航行的距离AD (参考数据： $\sin 26 ° \approx 0.44$ ， $\cos 26 ° \approx 0.90$ ， $\tan 26 ° \approx 0.49$ ， $\sin 37 ° \approx 0.60$ ， $\cos 37 ° \approx 0.80$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75$ ）

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15. 如图，山顶有一塔AB，塔高33m.计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF.从与E点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°.求隧道EF的长度.（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51）

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四、综合题

16. 如图，斜坡

A B

的坡角

∠ B A C = 13 °

，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板.前排光伏板的一端位于点

A

，过其另一端

D

安装支架

D E

，

D E

所在的直线垂直于水平线

A C

，垂足为点

F ， E

为

D F

与

A B

的交点.已知

A D = 100 cm

，前排光伏板的坡角

∠ D A C = 28 °

参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41 ， \sqrt{3} \approx 1.73 ， \sqrt{6} \approx 2.45$

三角函数锐角 $A$	13°	28°	32°
$\sin A$	0.22	0.47	0.53
$\cos A$	0.97	0.88	0.85
$\tan A$	0.23	0.53	0.62

(1)、求

A E

的长（结果取整数）；

(2)、冬至日正午，经过点

D

的太阳光线与

A C

所成的角

∠ D G A = 32 °

.后排光伏板的前端

H

在

A B

上.此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则

E H

的最小值为多少（结果取整数）？

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17. 某种落地灯如图1所示， $A B$ 为立杆，其高为 $84 cm$ ； $B C$ 为支杆，它可绕点 $B$ 旋转，其中 $B C$ 长为 $54 cm$ ； $D E$ 为悬杆，滑动悬杆可调节 $C D$ 的长度.支杆 $B C$ 与悬杆 $D E$ 之间的夹角 $∠ B C D$ 为 $60 °$ .

(1)、如图2，当支杆 $B C$ 与地面垂直，且 $C D$ 的长为 $50 cm$ 时，求灯泡悬挂点 $D$ 距离地面的高度；

(2)、在图2所示的状态下，将支杆 $B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $20 °$ ，同时调节 $C D$ 的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点 $D$ 到地面的距离为 $90 cm$ ，求 $C D$ 的长.（结果精确到 $1 cm$ ，参考数据： $\sin 20 ° \approx 0.34$ ， $\cos 20 ° \approx 0.94$ ， $\tan 20 ° \approx 0.36$ ， $\sin 40 ° \approx 0.64$ ， $\cos 40 ° \approx 0.77$ ， $\tan 40 ° \approx 0.84$ ）

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18. 我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地.小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿 $A B$ 摆成如图1所示.已知 $A B = 4.8 m$ ，鱼竿尾端A离岸边 $0.4 m$ ，即 $A D = 0.4 m$ .海面与地面 $A D$ 平行且相距 $1.2 m$ ，即 $D H = 1.2 m$ .

(1)、如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线 $B C$ 与海面 $H C$ 的夹角 $∠ B C H = 37 °$ ，海面下方的鱼线 $CO$ 与海面 $H C$ 垂直，鱼竿 $A B$ 与地面 $A D$ 的夹角 $∠ B A D = 22 °$ .求点O到岸边 $D H$ 的距离；

(2)、如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角 $∠ B A D = 53 °$ ，此时鱼线被拉直，鱼线 $B O = 5.46 m$ ，点O恰好位于海面.求点O到岸边 $D H$ 的距离.（参考数据： $\sin 37 ° = \cos 53 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $\cos 37 ° = \sin 53 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $\tan 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ， $\sin 22 ° \approx \frac{3}{8}$ ， $\cos 22 ° \approx \frac{15}{16}$ ， $\tan 22 ° \approx \frac{2}{5}$ ）

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19. 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”.如图，半径为 $3 m$ 的筒车 $⊙ O$ 按逆时针方向每分钟转 $\frac{5}{6}$ 圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心 $O$ 距离水面的高度 $O C$ 长为 $2.2 m$ ，简车上均匀分布着若干个盛水筒.若以某个盛水筒 $P$ 刚浮出水面时开始计算时间.

(1)、经过多长时间，盛水筒 $P$ 首次到达最高点？

(2)、浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？

(3)、若接水槽 $M N$ 所在直线是 $⊙ O$ 的切线，且与直线 $A B$ 交于点M， $M O = 8 m$ .求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线 $M N$ 上.（参考数据： $\cos 43^{°} = \sin 47^{°} \approx \frac{11}{15}$ ， $\sin 16^{°} = \cos 74^{°} \approx \frac{11}{40}$ ， $\sin 22^{°} = \cos 68^{°} \approx \frac{3}{8}$ ）

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20. 某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区 $A C$ 的坡度 $i$ 为 $1 ： 2$ ，顶端 $C$ 离水平地面 $A B$ 的高度为 $10 m$ ，从顶棚的 $D$ 处看 $E$ 处的仰角 $α = 18^{\circ} 30'$ ，竖直的立杆上 $C$ 、 $D$ 两点间的距离为 $4 m$ ， $E$ 处到观众区底端 $A$ 处的水平距离 $A F$ 为 $3 m$ ．

求：

(1)、观众区的水平宽度 $A B$ ；

(2)、顶棚的 $E$ 处离地面的高度 $E F$ ．（ $\sin 18^{\circ} 30' \approx 0.32$ ， $t a n 18^{\circ} 30' \approx 0.33$ ，结果精确到 $0.1 m$ ）

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21. 【材料阅读】
地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图 $1$ 中的 $⊙ O$ ）.人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图 $2$ 所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直.站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角 $α$ 的大小是变化的.

【实际应用】观测点 $A$ 在图1所示的 $⊙ O$ 上，现在利用这个工具尺在点 $A$ 处测得 $α$ 为 $31 °$ ，在点 $A$ 所在子午线往北的另一个观测点 $B$ ，用同样的工具尺测得 $α$ 为 $67 °$ . $P Q$ 是 $⊙ O$ 的直径， $P Q ⊥ O N$ .

(1)、求 $∠ P O B$ 的度数；

(2)、已知 $O P = 6400$ km，求这两个观测点之间的距离即 $⊙ O$ 上 $\overset{⌢}{A B}$ 的长.（ $π$ 取 $3.1$ ）

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22. 在三角形纸片 $A B C$ （如图1）中， $∠ B A C = 78 °$ ， $A C = 10$ .小霞用 $5$ 张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）.

(1)、 $∠ A B C =$ °；

(2)、求正五边形 $G H M N C$ 的边 $G C$ 的长.参考值： $\sin 78 ° \approx 0.98$ ， $\cos 78 ° \approx 0.21$ ， $\tan 78 ° \approx 4.7$ .

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23. 如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里.在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上.
（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37 ＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈）

(1)、求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；

(2)、若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截.求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截.（结果保留根号）

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24. 宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中 $A B$ 、 $C D$ 都与地面l平行，车轮半径为 $32 c m$ ， $∠ B C D = 64 °$ ， $B C = 60 c m$ ，坐垫 $E$ 与点 $B$ 的距离 $B E$ 为 $15 c m$ .

(1)、求坐垫 $E$ 到地面的距离；

(2)、根据经验，当坐垫 $E$ 到 $C D$ 的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适.小明的腿长约为 $80 c m$ ，现将坐垫 $E$ 调整至坐骑舒适高度位置 $E'$ ，求 $E E'$ 的长.
（结果精确到 $0.1 c m$ ，参考数据： $\sin 64 ° \approx 0.90$ ， $\cos 64 ° \approx 0.44$ ， $\tan 64 ° \approx 2.05$ ）

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