江苏中考数学历年真题分类卷13 三角形的性质及变换

试卷更新日期：2021-09-27 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 将一副三角板按如图方式重叠，则 $∠ 1$ 的度数为（）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $75 °$ D、 $105 °$

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2. 工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角.如图，在 $∠ A O B$ 的两边 $O A$ 、 $O B$ 上分别在取 $O C = O D$ ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点 $C$ 、 $D$ 重合，这时过角尺顶点 $M$ 的射线 $O M$ 就是 $∠ A O B$ 的平分线.这里构造全等三角形的依据是（）

A、 $S A S$ B、 $A S A$ C、 $A A S$ D、 $S S S$

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3. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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4. 如图，在△ABC中，∠A=70°，∠C=30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是（）

A、30° B、40° C、50° D、60°

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5. 下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（）

A、1，1，1 B、1，1，8 C、1，2，2 D、2，2，2

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6. 如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接 $A B$ 、 $B C$ 、 $C D$ 、 $D E$ 、 $E A$ ，若 $∠ B C D = 100 °$ ，则 $∠ A + ∠ B + ∠ D + ∠ E =$ （）

A、 $220 °$ B、 $240 °$ C、 $260 °$ D、 $280 °$

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7. 如图，在 $4 \times 4$ 的正方形网格中有两个格点A、B，连接 $A B$ ，在网格中再找一个格点C，使得 $△ A B C$ 是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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8. 如图， $△ A B C$ 中， $B D ⊥ A B$ ， $B D$ 、 $A C$ 相交于点D， $A D = \frac{4}{7} A C$ ， $A B = 2$ ， $∠ A B C = 150 °$ ，则 $△ D B C$ 的面积是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{14}$ B、 $\frac{9 \sqrt{3}}{14}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{7}$ D、 $\frac{6 \sqrt{3}}{7}$

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9. 在△ABC中，AB=1，BC= $\sqrt{5}$ ，下列选项中，可以作为AC长度的是（）

A、2 B、4 C、5 D、6

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10. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ B A C = 108 °$ ，将 $Δ A B C$ 绕点A按逆时针方向旋转得到 $Δ A B^{'} C^{'}$ .若点 $B^{'}$ 恰好落在 $B C$ 边上，且 $A B^{'} = C B^{'}$ ，则 $∠ C^{'}$ 的度数为（）

A、 $18 °$ B、 $20 °$ C、 $24 °$ D、 $28 °$

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11. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 在小正方形的顶点上，则 $Δ A B C$ 的重心是（）

A、点 $D$ B、点 $E$ C、点 $F$ D、点 $G$

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12. 下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（）

A、2cm，3cm，4cm B、1cm，2cm，3cm C、3cm，4cm，5cm D、4cm，5cm，6cm

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13. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）

A、 $2$ ， $2$ ， $4$ B、 $5$ ， $6$ ，12 C、 $5$ ， $7$ ， $2$ D、 $6$ ， $8$ ， $10$

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14. 一副三角板如图摆放（直角顶点 $C$ 重合），边 $A B$ 与 $C E$ 交于点 $F$ ， $D E ∥ B C$ ，则 $∠ B F C$ 等于（）

A、 $105 °$ B、 $100 °$ C、 $75 °$ D、 $60 °$

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15. 在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”，“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（）

A、①处 B、②处 C、③处 D、④处

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16. 已知n正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有（）

A、4个 B、5个 C、6个 D、7个

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二、填空题

17. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D、E分别在 $B C$ 、 $A C$ 上， $∠ B = 40 ° ， ∠ C = 60 °$ .若 $D E // A B$ ，则 $∠ A E D =$ $°$ .

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = 3 ， B C = 4$ ，点D、E分别在 $C A$ 、 $C B$ 上，点F在 $△ A B C$ 内.若四边形 $C D F E$ 是边长为1的正方形，则 $\sin ∠ F B A =$ .

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19. 如图，点A，B，C，O在网格中小正方形的顶点处，直线l经过点C，O，将 $△$ ABC沿l平移得到 $△$ MNO，M是A的对应点，再将这两个三角形沿l翻折，P，Q分别是A，M的对应点.已知网格中每个小正方形的边长都等于1，则PQ的长为.

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20. 如图（1），△ABC和△A′B′C′是两个边长不相等的等边三角形，点B′、C′、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移.开始时，点C′与点B重合，当点B′移动到与点C重合时停止.设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图（2）所示，则△ABC的边长是.

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21. 一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是.

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22. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺.如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（示意图如图，则水深为尺.

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23. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C = B D$ .设 $∠ A B C = α$ ，则 $∠ A D C =$ （用含 $α$ 的代数式表示）.

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24. 如图.在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A F = E F$ .若 $∠ C F E = 72 °$ ，则 $∠ B =$ .

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25. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ，矩形 $D E F G$ 的顶点D、E在 $A B$ 上，点F、G分别在 $B C$ 、 $A C$ 上，若 $C F = 4$ ， $B F = 3$ ，且 $D E = 2 E F$ ，则 $E F$ 的长为.

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26. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点D是 $A B$ 的中点，过点D作 $D E ⊥ B C$ ，垂足为点E，连接 $C D$ ，若 $C D = 5$ ， $B C = 8$ ，则 $D E =$ .

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27. 如图， $B E$ 是 $△ A B C$ 的中线，点F在 $B E$ 上，延长 $A F$ 交 $B C$ 于点D.若 $B F = 3 F E$ ，则 $\frac{B D}{D C} =$ .

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28. 在 $Δ A B C$ 中，若 $A B = 6$ ， $∠ A C B = 45 °$ ，则 $Δ A B C$ 的面积的最大值为.

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29. 如图，在△ABC中，BC＝3，将△ABC平移5个单位长度得到△A₁B₁C₁ ，点P、Q分别是AB、A₁C₁的中点，PQ的最小值等于.

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30. 如图，将分别含有 $30 °$ 、 $45 °$ 角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为 $65 °$ ，则图中角 $α$ 的度数为.

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31. 如图所示的网格由边长为 $1$ 个单位长度的小正方形组成，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、在直角坐标系中的坐标分别为 $(3 ， 6)$ ， $(- 3 ， 3)$ ， $(7 ， - 2)$ ，则 $△ A B C$ 内心的坐标为.

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32. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC=12，AD=8，则DE的长为.

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33. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上.设△ABC的周长为C₁ ， △DEF的周长为C₂ ，则 $\frac{C_{1}}{C_{2}}$ 的值等于.

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34. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈 $=$ 10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面尺高.

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35. 如图，在 $△ A B C$ 中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E.

②分别以点D、E为圆心，大于 $\frac{1}{2} D E$ 的同样长为半径作弧，两弧交于点F.

③作射线BF交AC于点G.

如果 $A B = 8$ ， $B C = 12$ ， $△ A B G$ 的面积为18，则 $△ C B G$ 的面积为.

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36. 如图，线段AB、BC的垂直平分线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 相交于点O，若 $∠ 1 =$ 39°，则 $∠ A O C$ =.

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37. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B C$ 的垂直平分线分别交 $B C$ 、 $A B$ 于点E、F.若 $△ A F C$ 是等边三角形，则 $∠ B =$ °.

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38. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 45 ° ， A B = 6 \sqrt{2}$ ，D、E分别是 $A B$ 、 $A C$ 的中点，连接 $D E$ ，在直线 $D E$ 和直线 $B C$ 上分别取点F、G，连接 $B F$ 、 $D G$ .若 $B F = 3 D G$ ，且直线 $B F$ 与直线 $D G$ 互相垂直，则 $B G$ 的长为.

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39. 直线 $y = x - l$ 与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C在坐标轴上，若△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有.

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40. 如图，直线 $a ∥ b$ ， $Δ A B C$ 的顶点 $C$ 在直线 $b$ 上，边 $A B$ 与直线 $b$ 相交于点 $D$ .若 $Δ B C D$ 是等边三角形， $∠ A = 20 °$ ，则 $∠ 1$ ＝°

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41. 如图， $∠ M A N = 60 °$ ，若 $Δ A B C$ 的顶点 $B$ 在射线 $A M$ 上，且 $A B = 2$ ，点 $C$ 在射线 $A N$ 上运动，当 $Δ A B C$ 是锐角三角形时， $B C$ 的取值范围是.

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42. 如图，在△ABC中，BC＝ $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ ，∠C＝45°，AB＝ $\sqrt{2}$ AC，则AC的长为.

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43. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB.若AD＝2，BD＝3，则AC的长为.

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44. 在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是.

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三、作图题

45. 如图， $Δ A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}$ ， $A C = 4$ ， $B C = 8$ ．

(1)、用直尺和圆规作 $A B$ 的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）

(2)、若（1）中所作的垂直平分线交 $B C$ 于点 $D$ ，求 $B D$ 的长．

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四、解答题

46. 如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A、B、C，测得 $∠ C A B = 30 °$ ， $∠ A B C = 45 °$ ， $A C = 8$ 千米，求A、B两点间的距离.（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.4$ ， $\sqrt{3} \approx 1.7$ ，结果精确到1千米）.

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47. 如图，有一池塘 $.$ 要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C ，连接AC并延长到D ，使 $C D = C A .$ 连接BC并延长到E ，使 $C E = C B .$ 连接DE ，那么量出DE的长，就是A、B的距离 $.$ 请说明DE的长就是A、B的距离的理由.

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五、综合题

48. 如图，B、F、C、E是直线l上的四点， $A B // D E ， A B = D E ， B F = C E$ .

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ D E F$ ；

(2)、将 $△ A B C$ 沿直线l翻折得到 $△ A^{'} B C$ .
①用直尺和圆规在图中作出 $△ A^{'} B C$ （保留作图痕迹，不要求写作法）；

②连接 $A^{'} D$ ，则直线 $A^{'} D$ 与l的位置关系是▲ .

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49. 如图，已知锐角 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ .

(1)、请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作 $∠ A C B$ 的平分线 $C D$ ；作 $△ A B C$ 的外接圆 $⊙ O$ ；（不写作法，保留作图痕迹）

(2)、在（1）的条件下，若 $A B = \frac{48}{5}$ ， $⊙ O$ 的半径为5，则 $\sin B =$ .（如需画草图，请使用图2）

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50. 已知：如图， $A C$ ， $D B$ 相交于点O， $A B = D C$ ， $∠ A B O = ∠ D C O$ .

求证：

(1)、 $△ A B O ≌ △ D C O$ ；

(2)、 $∠ O B C = ∠ O C B$ .

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51. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点A、B、C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）.请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法）.

(1)、将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B1，点C的对应点为C₁ ，画出△AB₁C₁；

(2)、连接CC₁ ， △ACC₁的面积为；

(3)、在线段CC1上画一点D，使得△ACD的面积是△ACC1面积的 $\frac{1}{5}$ .

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52. 如图， $A C$ 与 $B D$ 交于点O， $O A = O D ， ∠ A B O = ∠ D C O$ ，E为 $B C$ 延长线上一点，过点E作 $E F / / C D$ ，交 $B D$ 的延长线于点F.

(1)、求证 $△ A O B ≌ △ D O C$ ；

(2)、若 $A B = 2 ， B C = 3 ， C E = 1$ ，求 $E F$ 的长.

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53. 如图， $A C ⊥ B C$ ， $D C ⊥ E C$ ， $A C = B C$ . $D C = E C$ ， $A E$ 与 $B D$ 交于点 $F$ .

(1)、求证： $A E = B D$ ；

(2)、求 $∠ A F D$ 的度数.

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54. 如图，已知 $A B / / C D$ ， $A B = C D$ ， $B E = C F$ .

求证：

(1)、 $Δ A B F ≅ Δ D C E$ ；

(2)、 $A F / / D E$ .

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55. 问题1：如图①，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = ∠ C = 90 °$ ， $P$ 是 $B C$ 上一点， $P A = P D$ ， $∠ A P D = 90 °$ .

(1)、求证： $A B + C D = B C$ .

(2)、如图②，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = ∠ C = 45 °$ ， $P$ 是 $B C$ 上一点， $P A = P D$ ， $∠ A P D = 90 °$ .求 $\frac{A B + C D}{B C}$ 的值.

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56. 已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上， $E A // F B ， E A = F B ， A B = C D$ .

(1)、求证： $∠ E = ∠ F$ ；

(2)、若 $∠ A = 40 ° ， ∠ D = 80 °$ ，求 $∠ E$ 的度数.

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57. 如图1，点B在线段 $C E$ 上，Rt△ $A B C$ ≌Rt△ $C E F$ ， $∠ A B C = ∠ C E F = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $B C = 1$ .

(1)、点F到直线 $C A$ 的距离是；

(2)、固定△ $A B C$ ，将△ $C E F$ 绕点C按顺时针方向旋转30°，使得 $C F$ 与 $C A$ 重合，并停止旋转.
①请你在图1中用直尺和圆规画出线段 $E F$ 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为；

②如图2，在旋转过程中，线段 $C F$ 与 $A B$ 交于点O，当 $O E = O B$ 时，求 $O F$ 的长.

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58. 如图，在△ABC中，AB＝AC.将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O.

(1)、求证：△OEC为等腰三角形；

(2)、连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由.

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59. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于点0；

求证：

(1)、 $Δ D B C ≅ Δ E C B$

(2)、 $O B = O C$

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