安徽省六安市金寨县2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-09-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 如图， $P A$ 是 $⊙ O$ 的切线，切点为 $A$ ， $P O$ 的延长线交 $⊙ O$ 于点 $B$ ，若 $∠ B A P = 116 °$ ，则 $∠ P$ 的度数为（）

A、64° B、26° C、52° D、38°

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3. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放 $a$ 辆单车，计划第三个月投放单车 $y$ 辆，若第二个月的增长率是 $x$ ，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么 $y$ 与 $x$ 的函数关系是（）

A、 $y = a (1 + x) (1 + 2 x)$ B、 $y = a {(1 + x)}^{2}$ C、 $y = 2 a {(1 + x)}^{2}$ D、 $y = 2 x^{2} + a$

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4. 已知点 $A (x ， y)$ 在反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图象上，若 $x > 2$ ，则 $y$ 的取值范围是（）

A、 $3 < y < 6$ B、 $y < 3$ C、 $0 < y < 3$ D、 $y > 3$

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5. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $D ， E$ 两点分别在 $B C ， A C$ 上，且 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，若 $∠ A B E = ∠ C$ ， $B E$ 与 $A D$ 相交于点 $F$ ，则图中与 $Δ A B D$ 相似的是（）

A、 $Δ A B C$ B、 $Δ A B F$ C、 $Δ B F D$ D、 $Δ A E F$

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6. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C ， D$ 是 $\overset{⌢}{A C B}$ 上的三等分点，且 $\sin ∠ A B C = \frac{1}{2}$ ，则 $∠ A + ∠ D$ 等于（）

A、120° B、95° C、105° D、150°

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7. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是弦，四边形 $O B C D$ 是菱形， $A C$ 与 $O D$ 相交于点 $P$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $O D ⊥ A C$ B、 $A C$ 平分 $O D$ C、 $C B = 2 D P$ D、 $A P = 2 O P$

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8. 如图，已知正方形 $A B C D$ 与正方形 $A E F G$ 的边长分别为4和1，若将正方形 $A E F G$ 绕点 $A$ 旋转，则在旋转过程中，点 $C ， E$ 之间的最小距离为（）

A、3 B、 $4 \sqrt{2} - 1$ C、 $3 \sqrt{2} - 1$ D、 $4 \sqrt{2}$

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9. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 都在格点上，点 $E$ 在 $A B$ 的延长线上，以 $A$ 为圆心， $A E$ 为半径画弧，交 $A D$ 的延长线于点 $F$ ，且弧 $E F$ 经过点 $C$ ，则扇形 $A E F$ 的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{8} π$ B、 $\frac{5}{8} π$ C、 $\frac{5}{4} π$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{4} π$

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10. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 \sqrt{3} ， B C = 4$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点，连接 $A E ， D E ， P ， Q$ 分别是 $A E ， D E$ 上的点，且 $P E = D Q$ ．设 $Δ E P Q$ 的面积为 $y$ ， $P E$ 的长为 $x$ ，则 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 在平面内， $⊙ O$ 的半径为 $5 c m$ ，点 $P$ 到圆心 $O$ 的距离为 $6 c m$ ，则点 $P$ 与 $⊙ O$ 的位置关系是点 $P$ 在．（填“圆内”“圆外”或“圆上”）．

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12. 在平面直角坐标系中，点 $(- 2 ， 4)$ 关于原点对称的点的坐标为．

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13. 圆锥的表面展开图由一个扇形和一个圆组成，已知扇形的半径为9，圆心角为120°，则圆锥的底面圆的半径为．

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14. 如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过点 $A (0 ， 4) ， B (- 4 ， 4) ， C (- 6 ， 2)$ ．

(1)、若该圆弧所在圆的圆心为 $D$ ，则 $A D$ 的长为．

(2)、该圆弧的长为．

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三、解答题

15. 如图，正五边形 $A B C D E$ 内接于 $⊙ O$ ， $P$ 为 $\overset{⌢}{D E}$ 上的一点（点 $P$ 不与点 $D ， E$ 重合），求 $∠ C P D$ 的余角的度数．

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16. 如图，在等边 $Δ A B C$ 中， $D$ 是边 $A C$ 上的一点，连接 $B D$ ，将 $Δ B C D$ 绕点 $B$ 逆时针旋转60°得到 $Δ B A E$ ，连接 $E D$ ．若 $B C = 7 ， B D = 6$ ，求 $Δ A E D$ 的周长．

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17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的 $Δ A B C$ ，且 $∠ B = 90 °$ ．

(1)、将 $Δ A B C$ 绕点 $O$ 顺时针旋转90°后得到 $Δ E F G$ （其中 $A ， B ， C$ 三点旋转后的对应点分别是 $E ， F ， G$ ），画出 $Δ E F G$ ．

(2)、设 $Δ E F G$ 的内切圆的半径为 $r$ ， $Δ E F G$ 的外接圆的半径为 $R$ ，则 $\frac{r}{R} =$ ．

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18. 某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥 $A B$ 是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥 $A B$ 上方150米的点 $C$ 处悬停，此时测得桥两端 $A ， B$ 两点的俯角分别为65°和45°，求桥 $A B$ 的长度．（参考数据： $\sin 65 ° \approx 0.91$ ， $\cos 65 ° \approx 0.42$ ， $\tan 65 ° \approx 2.14$ ；结果精确到0.1米）

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19. 定义：若一次函数 $y = a x + b (a \neq 0)$ 和反比例函数 $y = - \frac{c}{x} (c \neq 0)$ 满足 $a - b = b - c$ ，则称 $y = a x^{2} + b x + c$ 为一次函数和反比例函数的“等差”函数．

(1)、 $y = x + b$ 和 $y = - \frac{3}{x}$ 是否存在“等差”函数？若存在，请写出它们的“等差”函数．

(2)、若 $y = 5 x + b$ 和 $y = - \frac{c}{x}$ 存在“等差”函数，且“等差”函数的图象与 $y = - \frac{c}{x}$ 的图象的一个交点的横坐标为1，求反比例函数的表达式．

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20. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2 ， B C = 4 ， ∠ A B C = 120 °$ ，将平行四边形绕点 $B$ 顺时针旋转 $α (0 ° < α < 90 °)$ 得到平行四边形 $B E F G$ ．

(1)、求点 $B$ 到 $A D$ 的距离；

(2)、当点 $E$ 落在 $A D$ 边上时，求点 $D$ 经过的路径长．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ，以 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ 分别交 $B C$ 、 $A C$ 于点 $D$ 、 $F$ 两点，连接 $A D$ ，点 $E$ 为 $A C$ 延长线上一点，连接 $B E$ ，若 $∠ E = ∠ D A C$ ；

(1)、求证： $B E$ 为 $⊙ O$ 切线；

(2)、若 $C E = C F$ ， $B D = 1$ ，求 $⊙ O$ 半径．

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22. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x - 3 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A ， B$ （点 $A$ 在 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ， $Δ A B C$ 的面积为6

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、过 $D (- 2 ， 0)$ 的直线 $l$ 交线段 $B C$ 于点 $M$ ， $l$ 与抛物线右侧的交点为 $N$ ，求 $\frac{M N}{D M}$ 的最大值．

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23. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A B = 12 \sqrt{2}$ ．点 $O$ 在边 $B C$ 上， $O B = 9$ ，以 $O$ 为圆心， $O B$ 为半径的弧经过点 $A$ ． $P$ 是弧 $A B$ 上的一个动点．

(1)、求线段 $A C$ 的长；

(2)、若 $P$ 是弧 $A B$ 的中点，连接 $P C ， P B$ ，求 $∠ P B C$ 的正切值；

(3)、若 $B A$ 平分 $∠ P B C$ ，延长 $B P$ 交 $C A$ 的延长线于点 $D$ ，求线段 $D P$ 的长．

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