上海市普陀区2021届高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-27 类型：期中考试

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一、填空题

1. 已知 $z \in C$ ，若 $z \cdot i = 1 - 2 i$ ，（ $i$ 为虚数单位），则 $| z | =$ ．

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2. 已知函数 $f (x) = 3^{x} - 1 (x \in R)$ ，则 $f (x)$ 的反函数 $f^{- 1} (x) =$ ．

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3. 已知： $\sin (α + \frac{π}{2}) = \frac{3}{5}$ ，且 $α$ 为第四象限角，则 $\cos (α + \frac{π}{4}) =$ ．

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4. 从4名男生和3名女生选2人参加校园辩论赛，则至少有一名女生的概率是．

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5. 已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为.

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6. 若 ${(2 \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常数项为．

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7. 定义在 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 - e^{- x} ， x > 0 \\ e^{x} + m ， x < 0 \end{array}$ 是奇函数，则实数 $m$ 的值为．

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8. 设数列 ${a_{n}}$ 前项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = \frac{1}{5}$ ，且对任意正整数 $m 、 n$ ，都有 $a_{m + n} = a_{m} \cdot a_{n}$ ，则 $\lim_{n \to \infty} S_{n} =$ ．

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9. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} ， x \leq a \\ x^{2} ， x > a \end{array}$ ，若存在实数 $b$ ，使函数 $g (x) = f (x) - b$ 有两个零点，则 $a$ 的取值范围是.

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10. 已知 $\overset{⇀}{A B} ⊥ \overset{⇀}{A C}$ ， $| \overset{⇀}{A B} | = \frac{1}{t}$ ， $| \overset{⇀}{A C} | = t$ ，若点 $P$ 是 $△ A B C$ 所在平面内一点，且 $\overset{⇀}{A P} = \frac{\overset{⇀}{A B}}{| \overset{⇀}{A B} |} + \frac{4 \overset{⇀}{A C}}{| \overset{⇀}{A C} |}$ ，则 $\overset{⇀}{P B} \cdot \overset{⇀}{P C}$ 的最大值等于.

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11. 已知递增数列 ${a_{n}}$ 共有2020项，且各项和均不为零， $a_{2020} = 2$ ，如果从 ${a_{n}}$ 中任取两项 $a_{i}$ 、 $a_{j}$ ，当 $i < j$ 时， $a_{j} - a_{i}$ 仍是数列 ${a_{n}}$ 中的项，则数列 ${a_{n}}$ 的各项和 $S_{2020} =$ ．

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12. 用 $M_{I}$ 表示函数 $y = \sin x$ 在闭区间 $I$ 上的最大值，若正数 $a$ 满足 $M_{[0 ， a]} = \sqrt{2} M_{[a ， 2 a]}$ ，则 $a$ 的为．

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二、单选题

13. “ $a > b$ ”是“ ${(\frac{a + b}{2})}^{2} > a b$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14. 已知非零 $\vec{a}$ 在非零 $\vec{b}$ 方向上的投影是m，m∈R，下列说法正确的是（）

A、 $\vec{a}$ 在 $k \vec{b} (k \neq 0)$ 方向上的投影一定是m B、 $\vec{a}$ 在 $k \vec{b} (k \neq 0)$ 方向上的投影一定是km C、 $\vec{a}$ 在 $k \vec{b} (k > 0)$ 方向上的投影一定是km D、 $\vec{a}$ 在 $k \vec{b} (k > 0)$ 方向上的投影一定m

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15. 已知常数 $a > 0$ ，不等式 $| f (x) + g (x) | < a$ 的解集为 $M$ ，不等式 $| f (x) | + | g (x) | < a$ 的解集为 $N$ ，则下列关系式中不可能成立的是（）

A、 $M = N$ B、 $M ⊊ N$ C、 $N ⊊ M$ D、 $M \cap N \neq \emptyset$

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16. 关于函数，有下列叙述：
①存在函数 $f (x)$ 满足，对任意 $x \in R$ 都有 $f (\sin 2 x) = \sin x$ ；②存在函数 $f (x)$ 满足，对任意 $x \in R$ 都有 $f (\sin 2 x) = x^{2} + x$ ；③存在函数 $f (x)$ 满足，对任意 $x \in R$ 都有 $f (x^{2} + 2 x) = | x + 1 |$ ；④存在函数 $f (x)$ 满足，对任意 $x \in R$ 都有 $f (x^{2} + 1) = | x + 1 |$ ；

其中，叙述正确的是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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三、解答题

17. 如图所示的多面体 $E F - A B C D$ 中， $A D E F$ 是正方形， $A B C D$ 是梯形， $E D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B / / C D ， A D ⊥ C D ， A B = A D = 2 ， C D = 4$ ．

(1)、求多面体 $E F - A B C D$ 的体积；

(2)、设 $M$ 为 $E C$ 的中点，求直线 $B F$ 和平面 $B D M$ 所成角．

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18. 已知x∈R，设 $\vec{m} = (2 \cos x ， \sin x + \cos x)$ ， $\vec{n} = (\sqrt{3} \sin x ， \sin x - \cos x)$ ，记函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $f (C) = 2$ ， $c = \sqrt{3}$ ， $a + b = 3$ ，求△ABC的面积S．

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19. 随着“新冠”疫情得到有效控制，企业进入了复工复产阶段为了支持一家小微企业发展，某科创公司研发了一种玩具供其生产销售．根据测算，该企业每月生产每套玩具的成本p由两部分费用（单位：元）构成：①固定成本（与生产玩具套数x无关），总计2万元；②生产所需成本 $5 x + \frac{1}{200} x^{2}$

(1)、问：该企业每月生产多少套玩具时，可使得平均每套所需的成本费用最少？此时每套玩具的成本费用是多少？

(2)、因“疫情”防控的需要，要求企业的复工复产逐步进行，假设复工后，企业每月生产 $x$ 套，售价定为 $30 + \frac{x}{100}$ （单位：元），且每月生产出的玩具能全部售出如果企业的月产量与复工率成正比，且该企业复工率达100%时的月产量为4000套，问：该企业的复工率至少达到多少时，才能确保月利润不少于10万元？

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20. 设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，其中 $S_{n} = k n^{2} + p n ， n \in N^{*} ， k ， p$ 是常数．

(1)、求证：数列 ${a_{n}}$ 为等差数列；

(2)、若 $p = 1$ 且对于任意的 $m \in N^{*} ， a_{m} ， a_{2 m} ， a_{4 m}$ 成等比数列，求 $k$ 的值；

(3)、设 $k = 1 ， p = 0 ， T_{n} = - a_{1} + a_{2} - a_{3} + \dots + {(- 1)}^{n} a_{n}$ ，若对一切正数 $n$ ，不等式 $λ T_{n} < [a_{n + 1} + {(- 1)}^{n + 1} a_{n}] \cdot 2^{n - 1}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) ， g (x)$ 的在数集 $D$ 上都有定义，对于任意的 $x_{1} ， x_{2} \in D$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时， $g (x_{1}) \leq \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} \leq g (x_{2})$ 或 $g (x_{2}) \leq \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} \leq g (x_{1})$ 成立，则称 $g (x)$ 是数集 $D$ 上 $f (x)$ 的限制函数．

(1)、试判断函数 $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ 是否是函数 $f (x) = - \frac{1}{x}$ 在 $D = (0 ， + \infty)$ 上的限制函数；

(2)、设 $g (x)$ 是 $f (x)$ 在区间 $D_{1} (D_{1} \subseteq D)$ 上的限制函数且 $g (x)$ 在区间 $D_{1}$ 上的值恒正，求证：函数 $f (x)$ 在区间 $D_{1}$ 上是增函数；

(3)、设 $f (x) = x^{2} - 2 \sqrt{x}$ ，试写出函数 $f (x)$ 在 $D = (0 ， + \infty)$ 上的限制函数，并利用（2）的结论，求 $f (x)$ 在 $D = (0 ， + \infty)$ 上的单调区间，说明理由．

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