山西省太原市2021届高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-27 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1}$ ， $B = {x | x (x + 2) \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0}$ B、 $[- 1 ， 0 ， 1]$ C、 ${0 ， 1}$ D、 $[- 2 ， 1]$

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2. 函数 $y = \ln (x + 1) + \frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}}$ 的定义域是（）

A、 $[- 1 ， 2)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(- 1 ， 2]$ D、 $[- 2 ， 1]$

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3. 已知q为等比数列 ${a_{n}}$ 的公比，且 $a_{1} a_{2} = - \frac{1}{2}$ ， $a_{3} = \frac{1}{4}$ ，则 $q =$ （）

A、-1 B、4 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\pm \frac{1}{2}$

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} x^{2} - x, x < 0, \\ \sqrt{x}, x \geq 0, \end{cases}$ ，若 $f (a) = 2$ ，则实数 $a =$ （）

A、-1或2 B、2或4 C、-2或4 D、-1或4

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5. 函数 $y = x \ln x$ 在 $x = e$ 处的切线方程是（）

A、 $y = 2 x - e$ B、 $y = x - e$ C、 $y = 2 x - 3 e$ D、 $y = x$

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6. 已知函数 $f (x) = \log_{2} x - \frac{1}{| x - 1 |}$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集是（）

A、 $(0, 1) \cup (1, 2)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(2, + \infty)$

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7. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) = f (x)$ ，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{e^{x}}$ ，则 $f (x)$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = - 29$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 3 (n \in N^{*})$ ，则 $| a_{1} | + | a_{2} | + \dots + | a_{20} | =$ （）

A、10 B、145 C、300 D、320

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9. 已知函数 $f (x)$ 对于任意 $x \in R$ 都满足 $f (1 + x) = f (1 - x)$ ，且当 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0, 1)$ （ $x_{1} \neq x_{2}$ ）时，不等式 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 恒成立，若 $a = \frac{1}{2}$ ， $b = \log_{2} \sqrt{3}$ ， $c = e^{\ln \sqrt{3}}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (a) > f (c) > f (b)$ B、 $f (c) > f (b) > f (a)$ C、 $f (b) > f (a) > f (c)$ D、 $f (b) > f (c) > f (a)$

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10. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = f (x)$ ，且当 $x \in [- 1 ， 1)$ 时， $f (x) = x^{2}$ ，若函数 $g (x) = \log_{a} | x + 1 |$ 图象与 $f (x)$ 的图象恰有10个不同的公共点，则实数a的取值范围为（）

A、 $(4 ， + \infty)$ B、 $(6 ， + \infty)$ C、 $(1 ， 4)$ D、 $(4 ， 6)$

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11. 已知单调递增数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 满足 $2 S_{n} = a_{n} (a_{n} + 1) (n \in N^{*})$ ，且 $S_{n} > 0$ ，记数列 ${2^{n} \cdot a_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，则使得 $T_{n} > 2020$ 成立的n的最小值为（）

A、7 B、8 C、10 D、11

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12. 若 $0 < x_{1} < x_{2} < 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\ln \frac{x_{1}}{x_{2}} < e^{x_{1}} - e^{x_{2}}$ B、 $\ln \frac{x_{1}}{x_{2}} > e^{x_{1}} - e^{x_{2}}$ C、 $\frac{x_{1}}{x_{2}} > \sqrt{e^{x_{1} - x_{2}}}$ D、 $\frac{x_{1}}{x_{2}} < \sqrt{e^{x_{1} - x_{2}}}$

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13. 在极坐标系中，点P为曲线 $ρ (\cos θ - \sin θ) + 2 = 0$ 上任一点，则点P到极点的距离的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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14. 在平面直角坐标系中，参数方程 ${\begin{cases} x = 1 - t^{2} \\ y = 1 + t^{2} \end{cases}$ （t是参数）表示的曲线是（）

A、一条直线 B、一个圆 C、一条线段 D、一条射线

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15. 不等式 $| 2 x + 1 | \leq 3$ 的解集为（）

A、 $[- 1, 2]$ B、 $(- \infty, - 2] \cup [1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1] \cup [2, + \infty)$ D、 $[- 2, 1]$

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16. 若关于x的不等式 $| x + 1 | + | x - m | < 3$ 有实数解，则实数m的取值范围为（）

A、 $(2, + \infty)$ B、 $(- 2, 4)$ C、 $(- 4, 2)$ D、 $(- \infty, - 4]$

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二、填空题

17. 已知集合 $A = {x | x < - 1$ 或 $x \geq 0}$ ， $B = {x | a \leq x < a + 2}$ ，若 $A \cup B = R$ ，则实数a的取值范围是.

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18. 函数 f(x)＝xe^x的单调减区间是．

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19. 已知函数f（x）＝x³－3x，若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y＝f（x）的三条切线，则实数m的取值范围为．

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20. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{n + 2} = a_{n + 1} + 2 a_{n} (n \in N^{*})$ ，记 $c_{n} = 3^{n} - 2 \times {(- 1)}^{n} λ a_{n}$ ，若对任意的 $n \in N^{*}$ ， $c_{n + 1} > c_{n}$ 恒成立，则实数 $λ$ 的取值范围为.

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21. 曲线 ${\begin{cases} x = \cos θ + \sin θ \\ y = 1 + \sin 2 θ \end{cases}$ （ $θ$ 是参数）的普通方程是.

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22. 在极坐标系中，直线 $θ = α$ （ $0 \leq α < π$ ， $ρ \in R$ ）被曲线 $ρ^{2} - 12 ρ \sin θ + 11 = 0$ 截得的弦长为8，则 $α =$ .

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23. 不等式 $| 2 x - 1 | > 2 - x$ 的解集为.

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24. 若函数 $f (x) = \sqrt{| 2 x + 1 | - | x + 1 | - a}$ 的定义域为 $R$ ，则实数a的取值范围为.

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三、解答题

25. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x \leq 0}$ ， $B = {y | y = 2^{x}, x \in A}$ ， $D = (∁_{R} A) \cap B$ .

(1)、求D；

(2)、若函数 $f (x) = x^{2} + \log_{2} x$ ， $x \in D$ ，求 $f (x)$ 的值域.

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26. 已知 $f (x) = \log_{a} \frac{x + b}{1 - x}$ ， $f (0) = 0$ ， $f (\frac{1}{3}) = 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并说明理由.

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27. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = \frac{2}{3} \times (4^{n} - 1) (n \in N^{*})$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{n} = 2^{b_{n}} (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${c_{n}}$ 满足： $c_{1} = 1$ ，且 $c_{n + 1} = \frac{b_{n}}{b_{n + 2}} c_{n}$ （ $n \in N^{*}$ ）， $T_{n}$ 是数列 ${c_{n}}$ 的前n项和，证明： $T_{n} < \frac{3}{2}$ .

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28. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - m x + \ln x (m \in R)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $| x_{1} - x_{2} | \leq \frac{15}{4}$ ，求 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) |$ 的最大值.

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29. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \frac{1}{2} t \\ y = - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{matrix}$ (t为参数)，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = - 4 \sin θ$ ．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程和 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、点 $P$ 的直角坐标为 $(0 ， - 1)$ ，若曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 相交于 $A ， B$ 两点，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值．

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30. 已知 $f (x) = | 2 x - 1 | + | x + 1 |$ .

(1)、画出函数 $f (x)$ 的图象；

(2)、求不等式 $f (x) < f (x - 1)$ 的解集.

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