山东省枣庄市2021届高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-27 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z$ 满足 $z = - 1 + \sqrt{3} i$ （其中 $i$ 为虚数单位），则 $\frac{\bar{z}}{| z |} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$

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2. 设 $a \in R$ ，则“ $a^{2} < a$ ”是“ $| a | < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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3. 函数 $f (x) = \frac{x (2^{x} + 2^{- x})}{2 + \cos x}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第 $n$ 天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时 $t (n)$ （单位：小时）大致服从的关系为 $t (n) = {\begin{array}{l} \frac{t_{0}}{\sqrt{n}}, n < N_{0} \\ \frac{t_{0}}{\sqrt{N_{0}}}, n \geq N_{0} \end{array}$ （ $t_{0}$ 、 $N_{0}$ 为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为 $8$ 小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为（）

A、16小时 B、11小时 C、9小时 D、8小时

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5. 已知函数 $f (x) = sin (2 x + φ)$ ，其中 $φ$ 为实数，若 $f (x) \leq | f (\frac{π}{6}) |$ 对 $x \in R$ 恒成立，且 $f (\frac{π}{2}) > f (π)$ ，则 $f (x)$ 的单调递增区间是（）

A、 $[k π - \frac{π}{3} ， k π + \frac{π}{6}] (k \in Z)$ B、 $[k π ， k π + \frac{π}{2}] (k \in Z)$ C、 $[k π + \frac{π}{6} ， k π + \frac{2 π}{3}] (k \in Z)$ D、 $[k π - \frac{π}{2} ， k π] (k \in Z)$

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6. 已知两定点 $A (- 2, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，如果动点 $P$ 满足 $| P A | = 2 | P B |$ ，点 $Q$ 是圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 3$ 上的动点，则 $| P Q |$ 的最大值为（）

A、 $5 - \sqrt{3}$ B、 $5 + \sqrt{3}$ C、 $3 + 2 \sqrt{3}$ D、 $3 - 2 \sqrt{3}$

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7. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为S_n ，若 $a_{7} > 0$ ， $a_{8} < 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $S_{7} < S_{8}$ B、 $S_{15} < S_{16}$ C、 $S_{13} > 0$ D、 $S_{15} > 0$

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8. 已知点 $A (3, 4)$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 上一点， $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线C的左、右焦点，若以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆经过点A，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、5

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{2}, 1)$ ， $\vec{b} = (\cos θ, \sin θ) (0 ⩽ θ ⩽ π)$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\tan θ = \sqrt{2}$ B、若 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影为 $- \frac{1}{2}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ C、存在 $θ$ ，使得 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | + | \vec{b} |$ D、 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的最大值为 $\sqrt{3}$

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10. 已知 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的函数，满足 $f (x + 1) = f (x - 3)$ ， $f (1 + x) = f (3 - x)$ ，当 $0 ⩽ x ⩽ 2$ 时， $f (x) = x^{2} - x$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的周期为4 B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称 C、当 $0 ⩽ x ⩽ 4$ 时， $f (x)$ 的最大值为2 D、当 $6 ⩽ x ⩽ 8$ 时， $f (x)$ 的最小值为 $- \frac{1}{2}$

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11. 在 $△ A B C$ 中，已知 $b \cos C + c \cos B = 2 b$ ，且 $\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B} = \frac{1}{\sin C}$ ，则（）

A、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 成等比数列 B、 $\sin A : \sin B : \sin C = 2 : 1 : \sqrt{2}$ C、若 $a = 4$ ，则 $S_{△ A B C} = \sqrt{7}$ D、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 成等差数列

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12. 已知 $\ln x_{1} - x_{1} - y_{1} + 2 = 0$ ， $x_{2} + 2 y_{2} - 2 \ln 2 - 6 = 0$ ，记 $M = {(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}$ ，则（）

A、 $M$ 的最小值为 $\frac{16}{5}$ B、当 $M$ 最小时， $x_{2} = \frac{14}{5}$ C、 $M$ 的最小值为 $\frac{4}{5}$ D、当 $M$ 最小时 $x_{2} = \frac{12}{5}$

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三、填空题

13. 经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程为

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14. 函数 $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$ 的图象可由函数 $y = \sin x + \sqrt{3} \cos x$ 的图象至少向右平移个单位长度得到．

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15. $△ A B C$ 的三个顶点都在抛物线E： $y^{2} = 32 x$ 上，其中A(2，8)， $△ A B C$ 的重心G是抛物线E的焦点，则BC所在直线的方程为．

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16. 已知 $a > b > 0$ ，则 $a + \frac{4}{a + b} + \frac{1}{a - b}$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 在条件① $b \sin \frac{B + C}{2} = a \sin B$ ，② $a \sin B = b \cos (A + \frac{π}{6})$ 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答．
在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C的对边分别为 $a ， b ， c ， b + c = 6 ， a = 2 \sqrt{6}$ ， ▲ ．求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 已知集合 $A = {x | y = \log_{2} (- 4 x^{2} + 15 x - 9), x \in R}$ ， $B = {x ‖ x - m | \geq 1, x \in R}$

(1)、求集合 $A$ ；

(2)、若 $p$ ： $x \in A$ ， $q$ ： $x \in B$ ，且 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{a x}{e^{x}}$ .

(1)、当 $a < 0$ 时，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若存在 $x_{0} \in R$ ，使得 $f (x_{0}) < - \frac{1}{3 e}$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $2 S_{n} = (n + 1) a_{n} (n \in N^{*}) ，$ 且 $a_{1} = 2$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n}^{} = (a_{n} - 1) 2^{a_{n}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ，求证 $T_{n} > \frac{20}{9}$ ．

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21. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点与抛物线 $y^{2} = 4 \sqrt{3} x$ 的焦点重合，且此抛物线的准线被椭圆C截得的弦长为1．
（I）求椭圆C的标准方程；

（II）直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为 $M (1, t)$ ，直线m是线段AB的垂直平分线，试问直线 $m$ 过定点坐标．

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22. 设函数 $f (x) = \ln (x + a) + x^{2}$ ．

(1)、若当 $x = - 1$ 时， $f (x)$ 取得极值，求 $a$ 的值，并讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 存在极值，求 $a$ 的取值范围，并证明所有极值之和大于 $\ln \frac{e}{2}$ ．

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