山东省青岛胶州市2020-2021学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-27 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | c o s x \geq \frac{1}{2} ， 0 < x < π}$ ，集合 $B = {x \in R | x^{2} \leq x}$ .则 $A \cup B =$ （）

A、 $(0 ， \frac{π}{3}]$ B、 $[0 ， \frac{π}{3}]$ C、 $(0 ， \frac{π}{3})$ D、 $(0 ， 1)$

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2. 已知数列 ${a_{n}}$ 各项均大于1， $n \in N^{*}$ ，“ $a_{n + 1} = a_{n}^{3}$ ”是“数列 ${\lg a_{n}}$ 成等比数列”的（）

A、充要条件 B、既不充分也不必要条件 C、必要不充分条件 D、充分不必要条件

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3. 已知角 $θ$ 终边经过点 $P (\sqrt{2} ， a)$ ，若 $θ = - \frac{π}{6}$ ，则 $a =$ （）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $- \sqrt{6}$

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4. 已知向量 $\vec{A B} = (1 ， 2) ， \vec{B D} = (2 ， - 1)$ ， $\vec{B C} = (t ， 1) ， t \in R$ ，若 $\vec{A D} / / \vec{C D} ，$ ，则实数 $t$ 的值为（）

A、8 B、6 C、4 D、 $\frac{4}{3}$

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5. 在空间中， $a$ 、 $b$ 是两条不同的直线， $α$ 、 $β$ 是两个不同的平面，则下列判断正确的是（）

A、若 $a // b$ ， $a // α$ ，则 $b // α$ B、若 $a ⊥ β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $a // α$ C、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $a ⊥ α$ ， $b ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $a // α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $a ⊥ β$

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l n x ， x > 0 ， \\ k x ， x \leq 0. \end{array}$ ，若 $\exists x_{0} \in R$ 使得 $f (- x_{0}) = f (x_{0})$ 成立，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 1]$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{e}]$ C、 $[- 1 ， + \infty)$ D、 $[- \frac{1}{e} ， + \infty)$

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7. 已知函数 $f (x) = {(\sin x + \sqrt{3} \cos x)}^{2} ， (x \in [0 ， \frac{π}{2}])$ ，则 $f (x)$ 的单调递增区间是（）

A、 $[0 ， \frac{π}{6}]$ B、 $[0 ， \frac{π}{4}]$ C、 $[0 ， \frac{π}{3}]$ D、 $[0 ， \frac{π}{2}]$

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8. 定义在 $[0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足：当 $0 ⩽ x < 2$ 时， $f (x) = - x^{3} + 3 x - 1$ ；当 $x ⩾ 2$ 时， $f (x) = 3 f (x - 2)$ .记函数 $f (x)$ 的极大值点从小到大依次记为 $a_{1} ， a_{2} ， \dots ， a_{n} ， \dots$ ，并记相应的极大值为 $b_{1} ， b_{2} ， \dots ， b_{n} ， \dots$ ，则 $a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2} + \dots + a_{18} \cdot b_{18}$ 的值为（）

A、 $18 \times 3^{19} + 1$ B、 $18 \times 3^{18} + 1$ C、 $17 \times 3^{17} + 1$ D、 $17 \times 3^{18} + 1$

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二、多选题

9. 在 $△ A B C$ 中， $| \vec{A B} | = 2 ， | \vec{A C} | = 1$ ， $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A P} ，$ 则（）

A、 $\vec{P B} \cdot \vec{P C} > 0$ B、 $\vec{P B} + \vec{P C} = \vec{0}$ C、 $\vec{P B} = \frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A C}$ D、 $\vec{A P} \cdot \vec{B P} = - \frac{3}{4}$

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10. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的最小正周期为4，其图象的一个最高点为 $A (\frac{1}{3} ， 2)$ ，下列结论正确的是（）

A、 $ω = π$ B、 $φ = \frac{π}{3}$ C、将 $f (x)$ 图象上各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，得到 $h (x)$ 图象；再将 $h (x)$ 图象向右平移 $\frac{1}{6}$ 个单位长度，得到函数 $y = 2 \sin (π x + \frac{π}{6})$ 的图象 D、 $y = f (x)$ 的图象关于 $x = 1$ 对称

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11. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E 、 F 、 G$ 分别为线段 $A B 、 A_{1} B_{1} 、 A A_{1}$ 的中点，下列说法正确的是（）

A、平面 $A C_{1} F / /$ 平面 $B_{1} C E$ B、直线 $F G / /$ 平面 $B_{1} C E$ C、直线 $C G$ 与 $B F$ 异面 D、直线 $C F$ 与平面 $C G E$ 相交

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12. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (1 + x) = f (1 - x)$ ，当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = x ，$ 关于函数 $g (x) = | f (x) | + f (| x |)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $g (x)$ 为偶函数 B、 $g (x)$ 在 $(1 ， 2)$ 上单调递增 C、 $g (x)$ 不是周期函数 D、 $g (x)$ 的最大值为 $2$

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三、填空题

13. 设z＝ $\frac{1}{1 + i}$ ＋i(i为虚数单位)，则|z|＝.

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14. 已知 $s i n 2 α = \frac{2}{3} ， 0 < α < \frac{π}{4}$ ，则 $s i n α - c o s α =$ .

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15. 已知 $a = \log_{2} 6$ ， $b = \log_{5} 15$ ， $c = 2^{- π}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为 (用“ $<$ ”连接).

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16. 在四面体 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C ， P A = 1$ ， $△ A B C 、 △ P B C 、 △ P A C 、 △ P A B$ 均为直角三角形，若该四面体最大棱长等于3，则（1）该四面体外接球的表面积为；（2）该四面体体积的最大值为.

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四、解答题

17. 在① $a \sin (A + C) = b \sin \frac{B + C}{2}$ ，② $1 + \cos^{2} A = \cos^{2} B + \cos^{2} C + \sin B \sin C$ 两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答.
在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知_ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} \cos (4 x - A) ， x \in [0 ， \frac{π}{4}]$ ，求 $f (x)$ 的最小值.

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18. 如图，在半圆柱 $W$ 中， $A B 、 C D$ 分别为该半圆柱的上、下底面直径， $E 、 F$ 分别为半圆弧 $\overset{⌢}{A B} ， \overset{⌢}{C D}$ 上的点， $A D 、 B C 、 E F$ 均为该半圆柱的母线， $A B = A D = 2$ .

(1)、证明：平面 $D E F ⊥$ 平面 $C E F$ ；

(2)、设 $∠ C D F = θ (0 < θ < \frac{π}{2})$ ，若二面角 $E - C D - F$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $θ$ 的值.

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19. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， a_{1} = 1 ， S_{n + 1} + S_{n} = a_{n + 1}^{2} ， n \in N^{*}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足： $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{2} b_{2} + ... + a_{n} b_{n} = 2 - \frac{n + 2}{2^{n}}$ ，求数列 ${\frac{1}{a_{n} \cdot | \log_{2} b_{n + 2} |}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 已知关于 $x$ 的函数 $f (x) = a \ln x - x \ln a ， a > 0$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的极值点；

(2)、若 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求 $a$ 的值.

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21. 如图1，在平面四边形 $A B D C$ 中， $A B = 2 ， A C = 1 ， C D = \sqrt{5} ， ∠ A = 90 °$ ， $c o s ∠ B C D = \frac{1}{5}$ ，

(1)、求 $s i n D$ ；

(2)、将 $△ B C D$ 沿 $B C$ 折起，形成如图2所示的三棱锥 $D - A B C ， A D = 2$ .

①三棱锥 $D - A B C$ 中，证明：点 $D$ 在平面 $A B C$ 上的正投影为点 $A$ ；

②三棱锥 $D - A B C$ 中，点 $E ， F ， G$ 分别为线段 $A B ， B C ， A C$ 的中点，设平面DEF与平面 $D A C$ 的交线为 $l$ ， $Q$ 为 $l$ 上的点.求 $D E$ 与平面 $Q F G$ 所成角的正弦值的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln a \cdot x e^{- x} + a \sin x$ ， $a > 0$ .

(1)、若 $x = 0$ 恰为 $f (x)$ 的极小值点.
①证明： $\frac{1}{2} < a < 1$ ；

②求 $f (x)$ 在区间 $(- \infty ， π)$ 上的零点个数；

(2)、若 $a = 1$ ， $\frac{f (x)}{x} = (1 - \frac{x}{π}) (1 + \frac{x}{π}) (1 - \frac{x}{2 π}) (1 - \frac{x}{3 π}) (1 + \frac{x}{3 π}) \cdot \cdot \cdot (1 - \frac{x}{n π}) (1 + \frac{x}{n π}) \cdot \cdot \cdot$ ，又由泰勒级数知： $\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + \cdot \cdot \cdot + \frac{{(- 1)}^{n} x^{2 n}}{(2 n)!} + \cdot \cdot \cdot (n \in N^{*})$ ，证明： $\frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n^{2}} + \cdot \cdot \cdot = \frac{π^{2}}{6}$

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