山东省济宁市邹城市2021届高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-27 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {x \in Z ∣ x^{2} - x \leq 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 在复平面内，复数 $z = 2 - \frac{1 - i}{i}$ （i为虚数单位）对应点的坐标为（）

A、 $(3 ， 1)$ B、 $(3 ， - 1)$ C、 $(1 ， 1)$ D、 $(1 ， - 1)$

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3. 命题“ $\exists x \in R ， x^{2} - 3 x + 5 < 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R ， x^{2} - 3 x + 5 \geq 0$ B、 $\exists x \in R ， x^{2} - 3 x + 5 > 0$ C、 $\forall x \in R ， x^{2} - 3 x + 5 \geq 0$ D、 $\forall x \in R ， x^{2} - 3 x + 5 > 0$

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4. 人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，强度为x的声音对应的等级为 $f (x) = 10 \lg (100 x)$ （dB）.听力会受到严重影响的声音约为90dB，室内正常交谈的声音约为60dB，则听力会受到严重影响的声音强度是室内正常交谈的声音强度的倍数为（）

A、 $10^{3}$ B、 $\frac{1}{1000}$ C、3 D、 $\frac{3}{2}$

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5. 已知 $△ A B C$ 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足 $b \cos C = a + c \cos B$ ，则该三角形的形状是（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、等腰或直角三角形

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6. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足当 $m \neq n$ 时，不等式 $(m - n) [f (m) - f (n)] < 0$ 恒成立，若 $a =$ $f (\log_{5} 0.5)$ ， $b = f (\log_{0.5} 2)$ ， $c = f (4^{0.3})$ ，则a，b，c大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $b > a > c$

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7. 九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串按一定移动圆环的次数决定解开圆环的个数.在某种玩法中，用 $a_{n}$ 表示解下 $n (n \leq 9 ， n \in N^{*})$ 个圆环所需要最少移动的次数，数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} 2 a_{n} - 1 ， n 为奇数 \\ 2 a_{n} + 2 ， n 为偶数 \end{array}$ ，则解下5个环所需要最少移动的次数为（）

A、7 B、10 C、16 D、31

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且 $f (1) = 1$ ，当 $x < 0$ 时，有 $x f^{'} (x) > f (x)$ ，则不等式 $f (x) > x$ 的解集为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 0)$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 1) \cup (0 ， 1)$

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二、多选题

9. 若a，b是正实数，则 $a > b$ 的充要条件是（）

A、 $\ln a > \ln b$ B、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ C、 $\sin a > \sin b$ D、 $a - b < e^{a} - e^{b}$

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10. 分析给出的下面四个推断，其中正确的为（）

A、若 $a ， b \in (0 ， + \infty)$ ，则 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ B、若 $x y < 0$ ，则 $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \leq - 2$ C、若 $a \in R$ ， $a \neq 0$ ，则 $\frac{4}{a} + a \geq 4$ D、若 $x ， y \in (0 ， + \infty)$ ，则 $\lg x + \lg y \geq 2 \sqrt{\lg x \cdot \lg y}$

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11. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为q，其前n项和为 $S_{n}$ ，前n项积为 $T_{n}$ ，并满足条件 $a_{1} > 1$ ，且 $a_{2020} a_{2021} > 1$ ， $(a_{2020} - 1) (a_{2021} - 1) < 0$ ，下列结论正确的是（）

A、 $S_{2020} < S_{2021}$ B、 $a_{2020} a_{2022} - 1 < 0$ C、数列 ${T_{n}}$ 无最大值 D、 $T_{2020}$ 是数列 ${T_{n}}$ 中的最大值

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12. 已知在平面直角坐标系 $O - x y$ 中，角 $θ$ 的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点 $A (x ， y)$ ，设关于x，y的表达式分别为 $x = f (θ)$ ， $y = g (θ)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x = f (θ)$ 在 $[0 ， π]$ 上单调递增 B、函数 $f (θ) \cdot g (θ)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $\frac{π}{4}$ 是函数 $f (θ) + g (θ)$ 的一个极值点 D、函数 $h (θ) = 2 f (θ) + g (2 θ)$ 的最大值为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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三、填空题

13. 已知 $\sin (\frac{π}{3} - α) = 2 \cos (α - \frac{π}{6})$ ，则 $\tan 2 α =$ .

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14. 若函数 $f (x)$ 满足 $2 f (x) - f (\frac{1}{x}) = 2 x - 1 (x \neq 0)$ ，则 $f (\frac{1}{2}) =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x \ln x | ， (0 < x \leq e) \\ x^{3} e^{x} ， (- 2 \leq x < 0) \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - m x$ 有（ $m \in R$ ）有三个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $m x_{2} x_{3}$ 的取值范围是.

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16. 如图所示，在 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $A C = 3$ ， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ，P是BC上一点，且满足 $\vec{A P} = m \vec{A C} + \frac{2}{3} \vec{A B}$ ，则实数 $m =$ ； $\vec{A P} \cdot \vec{C B} =$ .

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 3)$ ， $\vec{b} = (k ， k - 4)$ ， $\vec{c} = (\frac{1 - x}{x} ， \frac{1}{3 y})$ .

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求实数k的值；

(2)、若 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ，求 $x + \frac{y}{x}$ 的最小值.

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18. 问题：在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 $b = 2 \sqrt{7}$ ， $\sin A = 3 \sin C$ ，_______，求：

(1)、角B的大小；

(2)、边c的长.
从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答.

① $\sqrt{3} \sin B + \cos B = 2$ ；② $\sin B = \sin \frac{A + C}{2}$ ；③ $S_{△ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{2} a c \cdot \cos B$ .

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19. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象，如图所示.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，若函数 $g (x)$ 在 $[0 ， m]$ 上单调递增，当实数m取最大值时，求函数 $f (x)$ 在 $[0 ， m]$ 的值域.

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20. 已知在数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 中， $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ，求和： $a_{1} - a_{2} + a_{3} - \dots + {(- 1)}^{n - 1} a_{n}$ ；

(2)、若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，且公差 $d > 0$ ， $a_{n} a_{n + 1} b_{n} = 1 + d$ .求证： $b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots + b_{n} < 1 + \frac{1}{d}$ $(n \in N^{*})$ .

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21. 过去五年，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段.目前“精准扶贫”覆盖了全部贫困人口，东部帮西部，全国一盘棋的扶贫格局逐渐形成，到2020年底全国830个贫困县都将脱贫摘帽，最后4335万贫困人口将全部脱贫，这将超过全球其他国家过去30年脱贫人口的总和，2020年是我国打赢脱贫攻坚战收官之年，越是到关键时刻，更应该强调“精准”.为落实“精准扶贫”政策，某扶贫小组计划对甲、乙两个项目共投资100万元，并且规定每个项目至少投资20万元.依据前期市场调研可知：甲项目的收益 $p (t)$ （单位：万元）与投资t（单位：万元）满足 $p (t) = - \frac{1}{800} t^{3} + 6 t$ ；乙项目的收益 $g (t)$ （单位：万元）与投资t（单位：万元）的数据情况如表：

投资t（万元）

30

50

90

收益 $g (t)$ （万元）

$\frac{45}{2}$

$\frac{5}{2}$

$\frac{45}{2}$

设甲项目的投入为x（单位：万元），两个项目的总收益为 $f (x)$ （单位：万元）.

(1)、根据上面表格中的数据，从下面四个函数中选取一个合适的函数描述乙项目的收益 $g (t)$ （单位：万元）与投资t（单位：万元）的变化关系：① $g (t) = a t + b$ ；② $g (t) = a \ln t + b$ ；③ $g (t) = \frac{a}{t}$ ；④ $g (t) = a {(t - m)}^{2} + n$ ，其中 $a \neq 0$ ，并求出该函数；

(2)、试问如何安排甲、乙这两个项目的投资，才能使总收益 $f (x)$ 最大.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1 + \ln (1 + x)}{x} (x > 0)$

(1)、判断函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上的单调性

(2)、若 $f (x) > \frac{k}{x + 1}$ 恒成立，求整数 $k$ 的最大值

(3)、求证： $(1 + 1 \times 2) (1 + 2 \times 3) \dots [1 + n (n + 1)] > e^{2 n - 3}$

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投资t（万元）	30	50	90
收益 $g (t)$ （万元）	$\frac{45}{2}$	$\frac{5}{2}$	$\frac{45}{2}$