辽宁省六校2020-2021学年高三上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-09-27 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $a ， b \in R$ ，则“ $a + 2 b = 0$ ”是“ $\frac{a}{b} = - 2$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - x^{\frac{1}{3}}$ ，那么在下列区间中含有函数 $f (x)$ 零点的是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{3})$ B、 $(\frac{1}{3} ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2} ， \frac{2}{3})$ D、 $(\frac{2}{3} ， 1)$

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3. ${(\frac{1}{2} + 2 x)}^{8}$ 的展开式中二项式系数最大的项是（）

A、 $35 x^{2}$ B、 $20 x^{2}$ C、 $70 x^{4}$ D、 $35 x^{4}$

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4. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n + 1} = 1 + a_{n} + n$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots \frac{1}{a_{99}} =$ （）

A、 $\frac{99}{98}$ B、2 C、 $\frac{99}{50}$ D、 $\frac{99}{100}$

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5. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \begin{array}{l} l o g_{2} (1 - x), x < 0 \\ 4^{x}, x \geq 0 \end{array} \end{array}$ ，则 $f (- 3) + f (l o g_{2} 3) =$ （）

A、9 B、11 C、13 D、15

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6. 设函数 $f (x) = x \ln \frac{1 + x}{1 - x}$ ，则函数的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为 $36^{°}$ 的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金 $△ A B C$ 中， $\frac{B C}{A C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ .根据这些信息，可得 $\sin 234^{°} =$ （）

A、 $\frac{1 - 2 \sqrt{5}}{4}$ B、 $- \frac{3 + \sqrt{5}}{8}$ C、 $- \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$ D、 $- \frac{4 + \sqrt{5}}{8}$

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8. 若 $2^{x} = 3^{y} = 12^{z} > 1$ ，则 $z + \frac{4 x + 8 y}{x y}$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， 4]$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $(2 \sqrt{2} ， + \infty)$ D、 $[4 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 已知复数 $z = (a - i) (3 + 2 i) (a \in R)$ 的实部为-1，则下列说法正确的是（）

A、复数 $z$ 的虚部为-5 B、复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} = 1 - 5 i$ C、 $| z | = \sqrt{26}$ D、 $z$ 在复平面内对应的点位于第三象限

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10. 南宋杨辉在他1261年所著的《详解九章算术》一书中记录了一种三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即现在著名的“杨辉三角”．下图是一种变异的杨辉三角，它是将数列 ${a_{n}}$ 各项按照上小下大，左小右大的原则写成的，其中 ${a_{n}}$ 是集合 ${2^{s} + 2^{t} | 0 \leq s < t$ ，且 $s$ ， $t \in Z}$ 中所有的数从小到大排列的数列， $a_{1} = 3$ ， $a_{2} = 5$ ， $a_{3} = 6$ ， $a_{4} = 9$ ， $a_{5} = 10$ …下列结论正确的是（）

A、第四行的数是17，18，20，24 B、 $a_{\frac{n (n + 1)}{2}} = 3 \cdot 2^{n - 1}$ C、 $a_{\frac{n (n - 1)}{2} + 1} = 2 n + 1$ D、 $a_{100} = 16640$

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11. 一组数据 $2 x_{1} + 1, 2 x_{2} + 1, 2 x_{3} + 1, \dots, 2 x_{n} + 1$ 的平均值为7，方差为4，记 $3 x_{1} + 2, 3 x_{2} + 2, 3 x_{3} + 2, \dots, 3 x_{n} + 2$ 的平均值为a，方差为b，则（）

A、a=7 B、a=11 C、b=12 D、b=9

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12. 在单位圆O：x²+y²＝1上任取一点P（x，y），圆O与x轴正向的交点是A，设将OA绕原点O旋转到OP所成的角为θ，记x，y关于θ的表达式分别为x＝f（θ），y＝g（θ），则下列说法正确的是（）

A、x＝f（θ）是偶函数，y＝g（θ）是奇函数 B、x＝f（θ）在 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 为增函数，y＝g（θ）在 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 为减函数 C、f（θ）+g（θ）≥1对于 $θ \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 恒成立 D、函数t＝2f（θ）+g（2θ）的最大值为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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三、填空题

13. 设随机变量 $ξ \sim N (μ ， σ^{2})$ ，且 $P (ξ < - 3) = P (ξ > 1) = 0.2$ ，则 $P (- 1 < ξ < 1) =$ .

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14. 将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，清华大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有种.

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15. 已知 $a > 0$ ， $a \neq 1$ ，若函数 $f (x) = \log_{a} (a x^{2} - x)$ 在 $[3 ， 4]$ 是增函数，则 $a$ 的取值范围是．

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16. 设 $m$ ， $n \in R$ ，那么 ${(m - e^{n})}^{2} + {(n - e^{m})}^{2}$ 的最小值是．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x \cos x + \sin^{2} x + \frac{1}{2} (x \in R)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、设△ $A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $c = \sqrt{3} ， f (C) = 2$ ，向量 $\vec{m} = (1 ， a)$ 与向量 $\vec{n} = (2 ， b)$ 共线，求 $a ， b$ 的值．

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18. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知四边形 $O A B C$ 是等腰梯形， $A (6 ， 0) ， C (1 ， \sqrt{3})$ ，点 $M$ 满足 $\vec{O M} = \frac{1}{2} \vec{O A}$ ，点 $P$ 在线段 $B C$ 上运动（包括端点）.

(1)、求 $∠ O C M$ 的余弦值；

(2)、是否存在实数 $λ$ ，使 $(\vec{O A} - λ \vec{O P}) ⊥ \vec{C M}$ ，若存在，求出满足条件的实数 $λ$ 的取值范围，若不存在，请说明理由.

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19. 我市今年参加高考的考生是首次取消文理科后的新高考考生，新高考实行“

3 + 2 + 1

”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在

[15 ， 45)

称为中青年，年龄在

[45 ， 75)

称为中老年），并把调查结果制成下表：

年龄（岁）	$[15 ， 25)$	$[25 ， 35)$	$[35 ， 45)$	$[45 ， 55)$	$[55 ， 65)$	$[65 ， 75)$
频数	5	15	10	10	5	5
了解	4	12	6	5	2	1

(1)、请根据上表完成下面

2 \times 2

列联表，并判断是否有95%的把握认为对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？

	了解新高考	不了解新高考	总计
中青年
中老年
总计

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .

P（K²≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

(2)、现采用分层抽样的方法从中老年人中抽取8人，再从这8人中随机抽取2人进行深入调查，求事件A：“恰有一人年龄在

[45 ， 55)

”发生的概率.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数， $a_{1} = 3$ ，且对任意 $n \in N^{*}$ ， $2 a_{n}$ 为 $a_{n + 1}^{2} + 3$ 和1的等比中项，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = a_{n}^{2} - 1 (n \in N^{*})$ .

(1)、求证：数列 ${b_{n}}$ 为等比数列，并求 ${a_{n}}$ 通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \log_{2} b_{n}$ ， ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求使 $T_{n}$ 不小于360的 $n$ 的最小值.

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21. 为了解某地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：

年份x

2014

2015

2016

2017

2018

足球特色学校y（百个）

0.30

0.60

1.00

1.40

1.70

参考公式：

$r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ $， \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 10 ， \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 1.3 ， \sqrt{13} \approx 3.6056$ ； $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

(1)、根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱（已知： $0.75 \leq | r | \leq 1 ，$ 则认为 $y$ 与 $x$ 线性相关性很强； $0.3 \leq | x | \leq 0.75$ ，则认为 $y$ 与 $x$ 线性相关性一般， $| r | \leq 0.25$ ，则认为y与x线性相关性较弱）

(2)、求y与x的线性回归方程，并预测该地区2019年足球特色学校的个数（精确到个位）

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 8 x + a ln x (a \in R)$ ．
$($ Ⅰ $)$ 当 $x = 1$ 时， $f (x)$ 取得极值，求 $a$ 的值并判断 $x = 1$ 是极大值点还是极小值点；

$($ Ⅱ $)$ 当函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，且 $x_{1} \neq 1$ 时，总有 $\frac{a ln x_{1}}{1 - x_{1}} > t (4 + 3 x_{1} - x_{1}^{2})$ 成立，求 $t$ 的取值范围．

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年份x	2014	2015	2016	2017	2018
足球特色学校y（百个）	0.30	0.60	1.00	1.40	1.70