湖北省鄂东南省级示范高中2020-2021学年高三上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-09-27 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x ∣ y = \lg (x^{2} - 4)} ， N = {x ∣ 0 < x < 4}$ ，则 $(∁_{R} M) \cap N =$ （）

A、 ${x ∣ - 2 \leq x < 4}$ B、 ${x ∣ 0 < x \leq 2}$ C、 ${x ∣ - 2 \leq x \leq 2}$ D、 ${x ∣ x < 4}$

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2. 复数 $z = \frac{{(1 + 2 i)}^{2}}{- i + 2}$ ，则z的虚部是（）

A、1 B、i C、-2 D、-1

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3. $(3 x + 1) {(1 - x)}^{5}$ 的展开式中的 $x^{5}$ 的系数是（）

A、14 B、-14 C、16 D、-16

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4. 若 ${(\frac{1}{2})}^{a} = \log_{2} a ， {(\frac{1}{2})}^{b} = b^{2} (b > 0) ， c^{\frac{1}{2}} = 2^{- c}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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5. 如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为22，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为14.现从 $1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7$ 这七个数字中任取两个不同数字标在另外两个三角形上则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{8}{49}$

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6. 已知 $\tan θ$ 满足 $\tan θ + \frac{1}{\tan θ} = 3$ ，则 $\cos^{2} (θ + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n} - a_{n + 1} = \frac{a_{n} a_{n + 1}}{(n + 1) (n + 2)} (n \in N^{*})$ ，则 $n a_{n}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、1 D、2

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8. 已知 $f (x) = x^{2} + 4 x + 1 + a$ ， $\forall x \in R ， f (f (x)) \geq 0$ 恒成立，则实数a的取值范围为（）

A、 $[\frac{\sqrt{5} - 1}{2} ， + \infty)$ B、 $[2 ， + \infty)$ C、 $[- 1 ， + \infty)$ D、 $[3 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 下列命题为真命题的是（）

A、若 $p ： \exists n \in N ， n^{2} > 2^{n}$ ，则 $\neg p ： \forall n \in N ， n^{2} < 2^{n}$ ； B、若 $a > b > 0 ， c < d < 0$ ，则 $\frac{a}{d} < \frac{b}{c}$ ； C、使不等式 $1 + \frac{1}{x} > 0$ 成立的一个充分不必要条件是 $x < - 1$ 或 $x > 1$ D、若 $a_{i} ， b_{i} ， c_{i} (i = 1 ， 2)$ 是全不为0的实数，则“ $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ”是“不等式 $a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1} > 0$ 和 $a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2} > 0$ 解集相等”的充分不必要条件

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10. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ ，将 $y = f (x)$ 的图象上所有点向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到函数 $y = g (x)$ 的图象.若 $g (x)$ 为偶函数，且最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ，则（）

A、 $y = f (x)$ 图象关于点 $(\frac{5 π}{12} ， 0)$ 对称 B、 $y = f (x)$ 图象在 $(0 ， \frac{5 π}{12})$ 上单调递增 C、 $f (x) = g (\frac{x}{2})$ 在 $(0 ， \frac{5 π}{4})$ 上有且仅有3个解 D、 $g (x)$ 在 $(- \frac{π}{12} ， \frac{5 π}{4})$ 上有且仅有3个极大值点

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11. 如图，已知四边形 $A B C D$ 中， $F_{n} (n \in N^{*})$ 为边 $B C$ 上的一列点，连接 $A F_{n}$ 交 $B D$ 于 $G_{n}$ ，点 $G_{n} (n \in N^{*})$ 满足 $\vec{G_{n} F_{n}} + 2 (1 + a_{n}) \vec{G_{n} C} = a_{n + 1} \vec{G_{n} B}$ ，其中数列 ${a_{n}}$ 是首项为1的正项数列， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{3} = 13$ B、数列 ${3 + a_{n}}$ 是等比数列 C、 $a_{n} = 4 n - 3$ D、 $S_{n} = 2^{n + 1} - 3 n$

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12. 已知曲线 $f (x) = a e^{x - 2} (a > 0)$ 与曲线 $g (x) = x^{2} - m (m > 0)$ 有公共点，且在第一象限内的公共点处的切线相同(e是自然对数的底数)，则当m变化时，实数a取以下哪些值能满足以上要求（）

A、1 B、e C、 $2 e$ D、 $e^{2}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2) ， \vec{b} = (m ， 3)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影为.

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14. 有8个座位连成一排，现有5人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有(用数字作答).

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15. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 1 ， x \leq 0 \\ 2^{- x} ， x > 0 \end{array}$ ，则满足 $f (x) + f (x - \frac{1}{2}) > 1$ 的x的取值范围是.

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16. 设函数 $f (x) = \frac{3 - 2 x}{x + 1} ， g (x) = x e^{2 x}$ (e是自然对数的底数)，若 $\exists x_{1} \in (- 1 ， + \infty)$ ，使得 $\forall x_{2} \in (- \infty ， \ln 2]$ ，不等式 $4 m g (x_{2}) > m^{2} f (x_{1})$ 恒成立，则实数m的取值范围是.

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四、解答题

17. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{3} = 5 ， {a_{n}}$ 的前六项和 $S_{6} = 36$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、若 ▲ (填①或②或③中的一个)，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .在① $b_{n} = \frac{2}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，② $b_{n} = {(- 1)}^{n} \cdot a_{n}$ ，③ $b_{n} = 2^{a_{n}} \cdot a_{n}$ ，这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 某学校食堂为提高服务质量，随机调查了20名教师和20名学生，每位师生对该学校食堂的服务给出了满意或不满意的评价，得到如下列联表：

满意

不满意

教师

14

6

学生

8

12

(1)、分别估计教师､学生对该食堂服务满意的概率；若从对食堂服务不满意的6名教师和12名学生中，随机抽取3人作为代表与食堂进行沟通，求抽取人员中学生人数X的分布列及期望值.

(2)、能否有 $95 %$ 的把握认为教师､学生对该食堂的评价有差异.
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$P (K^{2} ⩾ k)$

0.050

0.010

0.001

$k$

3.841

6.635

10.828

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19. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，向量 $\vec{m} = (\cos C ， 2 b - \sqrt{2} c)$ ， $\vec{n} = (\cos A ， \sqrt{2} a) ， \vec{m} / / \vec{n}$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为8，且 $b^{2} + 2 a^{2} = 4 c^{2}$ ，求c的值.

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20. 已知函数 $f (x) = 2 \ln x - \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若关于x的方程 $2 f (x) + x^{2} - 3 x - a = 0$ 在区间 $[3 ， 6]$ 内恰有两个相异的实根，求实数a的取值范围.

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21. 自从新型冠状病毒爆发以来，全国范围内采取了积极的措施进行防控，并及时通报各项数据以便公众了解情况，做好防护.以下是某地区2020年1月23日—31日这9天的新增确诊人数.

日期	23	24	25	26	27	28	29	30	31
时间x	1	2	3	4	5	6	7	8	9
新增确诊人数y	16	20	27	32	44	78	57	56	58

经过医学研究，发现新型冠状病毒极易传染，一个病毒的携带者在病情发作之前通常有长达14天的潜伏期，这个期间如果不采取防护措施，则感染者与一位健康者接触时间超过15秒，就有可能传染病毒.

(1)、将1月23日作为第1天，连续9天的时间作为变量x ，每天新增确诊人数作为变量y ，通过回归分析，得到模型

\hat{y} = \hat{b} \ln x + \hat{a}

用于对疫情进行分析.对上表的数据作初步处理，得到下面的一些统计量的值(部分数据已作近似处理)：

\bar{x} = 5 ， \bar{y} = 43.11 ， \sum_{i = 1}^{9} \ln x_{i} = 12.78 ， \sum_{i = 1}^{9} (x - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 382

，

\sum_{i = 1}^{9} (\ln x_{i} - \bar{\ln x}) (y_{i} - \bar{y}) = 101.36 ， \sum_{i = 1}^{9} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 60 ， \sum_{i = 1}^{9} {(\ln x_{i} - \bar{\ln x})}^{2} = 4.14 ， \ln 10 = 2.3

；根据相关数据，求该模型的回归方程(结果精确到0.1)，并依据该模型预测第10天新增确诊人数.

(2)、在疫情防控过程中，有13名工作人员在餐厅就餐，针对就餐时有防护措施一：场地消毒通风，进入餐厅前洗手洗脸带口罩手套等等；防护措施二：严格使用公筷､公勺，取餐时排队保持1.5米以上的距离，用餐时保持两米以上的距离，不讲话等等.已知这13人中，有一位新冠病毒感染者，若仅要求防护措施一，感染者传染给他人的概率是0.3，若仅要求防护措施二，感染者传染给他人的概率是

\frac{1}{3}

.现餐厅同时严格使用两种措施，记余下的人员中被感染的人数为X ，求X最有可能(即概率最大)的值是多少？

附：对于一组数据 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ， \dots ， (x_{n} ， y_{n})$ ，其回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} x$ .

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - e x ， h (x) = a f (x) + 2 f (- x) + (2 a - 4) e x$ ( $a \in R$ 且 $a \neq 0 ， e$ 是自然对数的底数).

(1)、讨论函数 $y = f (a x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \geq 0$ 时， $h (x) \geq (a + 2) \cos x + (e - 1) (a - 2) x$ 恒成立，求a的取值范围.

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	满意	不满意
教师	14	6
学生	8	12

$P (K^{2} ⩾ k)$	0.050	0.010		0.001
$k$	3.841	6.635		10.828