福建省福州市闽江口联盟校2021届高三上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-09-27 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合A={x|x²-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B=（）

A、(-∞，1) B、(-2，1) C、(-3，-1) D、(3，+∞)

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2. 若 $p$ ： $\forall x \in R$ ， $\sin x \leq 1$ ，则（）

A、 $\neg p$ ： $\forall x \in R$ ， $\sin x > 1$ B、 $\neg p$ ： $\exists x_{0} \in R$ ， $\sin x_{0} > 1$ C、 $\neg p$ ： $\forall x \in R$ ， $\sin x \geq 1$ D、 $\neg p$ ： $\exists x_{0} \in R$ ， $\sin x_{0} \geq 1$

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3. $\sin 20^{o} \cos 10^{o} - \cos 160^{o} \sin 10^{o}$ =（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 在《张丘建算经》有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布几何？” （）

A、30尺 B、60尺 C、90尺 D、120尺

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5. 设 $a = 3^{0.7} ， b = {(\frac{1}{3})}^{- 0.8} ， c = \log_{0.7} 0.8$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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6. 在△ $A B C$ 中， $A D$ 为 $B C$ 边上的中线，E为 $A D$ 的中点，则 $\overset{⇀}{E B} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{4} \overset{⇀}{A C}$ B、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{A B} - \frac{3}{4} \overset{⇀}{A C}$ C、 $\frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{4} \overset{⇀}{A C}$ D、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{3}{4} \overset{⇀}{A C}$

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7. 函数 $f (x) = \frac{\ln (x^{2} + 1)}{x^{3}}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且 $f (1 + x) = f (1 - x) ，$ 若 $f (1) = 9 ，$ 则 $f (2019) =$ （）

A、-9 B、9 C、-3 D、0

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二、多选题

9. 下列叙述不正确的是（）

A、 $\frac{1}{x} < 2$ 的解是 $x > \frac{1}{2}$ B、“ $0 \leq m \leq 4$ ”是“ $m x^{2} + m x + 1 \geq 0$ ”的充要条件 C、已知 $x \in R$ ，则“ $0 < x < 1$ ”是“ $| x - 1 | < 1$ ”的充分不必要条件 D、函数 $f (x) = x^{2} + \frac{3}{x^{2} + 2}$ 的最小值是 $2 \sqrt{3} - 2$

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10. 已知曲线 $C_{1} : y = 3 \sin x, C_{2} : y = 3 \sin (2 x + \frac{π}{4})$ ，则下面结论正确的是（）

A、把 $C_{1}$ 上各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度，得到曲线 $C_{2}$ B、把 $C_{1}$ 上各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，得到曲线 $C_{2}$ C、把 $C_{1}$ 向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍．纵坐标不变，得到曲线 $C_{2}$ D、把 $C_{1}$ 向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，得到曲线 $C_{2}$

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11. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和记为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} > 0$ ， $S_{10} = S_{20}$ ，则（）

A、 $d > 0$ B、 $a_{16} < 0$ C、 $S_{n} \leq S_{15}$ D、当且仅当 $S_{n} < 0$ 时 $n \geq 32$

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12. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = e^{x} (x + 1)$ ，给出下列命题：①当 $x > 0$ 时， $f (x) = - e^{- x} (x - 1)$ ；②函数 $f (x)$ 有2个零点；③ $f (x) < 0$ 的解集为 $(- \infty ， - 1) \cup (0 ， 1)$ ；④ $\forall x_{1} ， x_{2} \in R$ ，都有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | < 2$ .其中所有正确结论的编号是（）

A、① B、② C、③ D、④

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三、填空题

13. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 为两个垂直的单位向量， $k$ 为实数，若向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 与向量 $k \vec{a} - \vec{b}$ 垂直，则
$k =$ ．

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14. 若实数 $m = 4 \log_{3} 2$ ，则 ${(\frac{1}{3})}^{m} =$ .

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15. 已函数 $y = f (x) + \cos x$ 是奇函数，且 $f (\frac{π}{3}) = 1$ ，则 $f (- \frac{π}{3}) =$

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{1 + | x |}$ ，则不等式 $f (x - 3) + f (2 x) > 0$ 的解集为

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{O A} = (1, 2)$ ， $\vec{O B} = (m, - 2)$ ， $\vec{O C} = (- 3, 1)$ ，O为坐标原点.

(1)、若 $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$ ，求实数m的值；

(2)、在（1）的条件下，求 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 所成角的余弦值.

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18. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、求 $A$ ， $ω$ 和 $φ$ 的值；

(2)、求函数 $y = f (x)$ 在 $[1 ， 2]$ 上的单调递减区间.

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d \neq 0$ ，若 $a_{6} = 11$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{5}$ ， $a_{14}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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20. △ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．

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21. 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1 ， a_{5} = 4 a_{3}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_{m} = 63$ ，求 $m$ ．

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22. 设函数 $f (x) = a x - 2 - \ln x (a \in R)$ .

(1)、若 $f (x)$ 在点 $(e ， f (e))$ 处的切线为 $x - e y + b = 0$ ，求 $a ， b$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若 $g (x) = a x - e^{x}$ ，求证：在 $x > 0$ 时， $f (x) > g (x)$ .

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