北京市密云区2021届高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-27 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} < 1}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则A∩B=（）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 0}$ D、 ${0}$

查看试题解析
2. 已知向量 $\vec{a} = (4 ， m) ， \vec{b} = (3 ， - 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- \frac{8}{3}$ B、-6 C、6 D、8

查看试题解析
3. 下列函数中，既是偶函数又在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = x^{- 2}$ B、 $y = \ln | x |$ C、 $y = 2^{x}$ D、 $y = x \sin x$

查看试题解析
4. 将数列{2n+1}与{3n﹣2}(n=1，2，…)的公共项从小到大排列得到数列{a_n}，则{a_n}的前4项的和为（）

A、35 B、60 C、64 D、95

查看试题解析
5. 已知a=log₃4，π^b=3，c³=9，则a，b，c的大小关系是（）

A、a<b<c B、a<c<b C、b<c<a D、b<a<c

查看试题解析
6. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为（）

A、 $f (x) = 2 \sin (x - \frac{π}{6})$ B、 $f (x) = 2 \sin (x - \frac{π}{3})$ C、 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{6})$ D、 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3})$

查看试题解析
7. 当强度为x的声音对应等级为f(x)分贝时，有 $f (x) = 10 \lg \frac{x}{A_{0}}$ (其中A₀为常数)，装修电钻的声音约为120分贝，普通室内谈话的声音约为60分贝，则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（）

A、2 B、 $\lg 2$ C、10² D、10⁶

查看试题解析
8. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则“ $a_{1} < 0$ ”是“ $S_{2021} < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
9. 在△ABC中， $A B = 2 \sqrt{3} ， B C = 4 ， ∠ A B C = \frac{π}{6}$ ，AD为BC边上的高，O为AD的中点， $\vec{A O} = λ \vec{A B} + μ \vec{B C}$ ，其中 $λ$ ， $μ \in R$ 则 $\frac{λ}{μ}$ 等于（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

查看试题解析
10. 函数 $y = f (x)$ 的图象如图所示，在区间 $[0 ， a]$ 上可找到 $n (n \geq 2 ， n \in N^{*})$ 个不同的数 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、…、 $x_{n}$ ，使得 $\frac{f (x_{1})}{x_{1}} = \frac{f (x_{2})}{x_{2}} = \dots \dots = \frac{f (x_{n})}{x_{n}}$ ，则 $n$ 的取值为（）

A、 ${2 ， 3 ， 4 ， 5}$ B、 ${2 ， 4 ， 5}$ C、 ${3 ， 4 ， 5}$ D、 ${2 ， 3 ， 4}$

查看试题解析

二、填空题

11. 函数 $f (x) = \log_{2} x + \frac{1}{x - 1}$ 的定义域为.

查看试题解析
12. 给出下列五个论断：① $b < 0$ ；② $b > 0$ ；③ $a < 0$ ；④ $a > b$ ；⑤ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ .以其中的两个论断作为条件，一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.

查看试题解析
13. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1 ， \vec{b} = (1 ， 1)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的最大值为.

查看试题解析
14. 若“ $\exists x_{0} > 1$ ，使得 $x + \frac{1}{x - 1} < a$ .”为假命题，则实数a的最大值为.

查看试题解析
15. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3^{x} - 1 ， & x ⩽ a \\ | x + 1 | ， & x > a \end{array}$ .
①若a=1，则f(x)的值域为；

②若f(x)在R上单调递增，则实数a的取值范围是.

查看试题解析

三、解答题

16. 已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cdot \cos (x - \frac{π}{6})$ .

(1)、求f(x)的最小正周期及单调递增区间；

(2)、若f(x)在区间 $[- \frac{π}{6} ， m]$ 上的最大值为 $\frac{3}{2}$ ，求m的最小值.

查看试题解析
17. 已知等差数列{a_n}的前n和为S_n ，满足 $S_{7} = a_{4}$ .

(1)、若 $a_{3} = 2$ ，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式及前n项和 $S_{n}$ ；

(2)、若 $a_{1} < 0$ ，且 $S_{n} \leq a_{n}$ ，求n的取值范围.

查看试题解析
18. 在△ABC中， $A = \frac{π}{3}$ ， $b - a = 1$ ，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

(1)、 $\sin (A + B)$ 的值；

(2)、 $△ A B C$ 的面积.
条件①： $c = 5$ ；条件②： $\cos B = - \frac{1}{7}$ .

查看试题解析
19. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - 1$ ，a∈R.

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对任意 $x_{1} ， x_{2} \in [- 1 ， 1] ， | f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq e + \frac{1}{e}$ 恒成立，求a的取值范围.

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = \ln x - x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) + a$ ，若 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， e]$ 是函数g(x)的两个零点，
①求a的取值范围；

②求证： $x_{1} x_{2} < 1$ .

查看试题解析
21. 对于实数数列{a_n}，记 $m_{n} = \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n}$ .

(1)、若m₁=1，m₂=2，m₃=4，m₄=8，写出a₁ ， a₂ ， a₃ ， a₄的值；

(2)、若数列{a_n}是等差数列，求证：对任意三元数组(i，j，k)(i，j，k两两不相等)，总有(i﹣j)m_k+(j﹣k)m_i+(k﹣i)m_j=0；

(3)、若对任意三元数组(i，j，k)(i，j，k两两不相等)，存在常数c，使得(i﹣j)m_k+(j﹣k)m_i+(k﹣i)m_j=c，求证：{a_n}是等差数列.

查看试题解析