新疆昌吉州教育共同体2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-27 类型：期中考试

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一、单选题

1. 153和119的最大公约数是（）

A、153 B、119 C、34 D、17

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2. 执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）

A、15 B、17 C、18 D、19

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3. 用秦九韶算法计算函数 $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + x - 1$ ，当 $x = 1$ 时的值，则 $v_{3} =$ （）

A、-2 B、-1 C、0 D、1

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4. 如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食落在圆锥外面”的概率是（）

A、 $1 - \frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{12}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $1 - \frac{π}{12}$

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5. 已知 $p : 2^{x} - 8 > 0, q : (x - 3) (x - 4) \geq 0$ ，则（）

A、 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件 B、 $p$ 是 $\neg q$ 的充分不必要条件 C、 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件 D、 $p$ 是 $\neg q$ 的必要不充分条件

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6. 与椭圆 $\frac{x^{2}}{24} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的焦点坐标相同的是（）

A、 $x^{2} - 15 y^{2} = 15$ B、 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

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7. 下列各数中最小的数是 ( )

A、 $85_{(9)}$ B、 $210_{(6)}$ C、 $1000_{(4)}$ D、 $111111_{(2)}$

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8. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (m > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 在 $C$ 上，且 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的周长为 $16$ ，则 $m$ 的值是（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $4$

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9. 设 $F_{1}, F_{2}$ 为曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的两个焦点，点在双曲线上且满足 $∠ F_{1} P F_{2} = 90^{\circ}$ ，则 $Δ F_{1} P F_{2}$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、1 D、 $\sqrt{5}$

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10. 已知双曲线的方程为 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，双曲线右焦点F到双曲线渐近线的距离为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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11. 给出如下四个命题：①若“ $p$ 且 $q$ ”为假命题，则 $p, q$ 均为假命题；②命题“若 $a > b$ ，则 $2^{a} > 2^{b} - 1$ ”的否命题为“若 $a \leq b$ ，则 $2^{a} \leq 2^{b} - 1$ ”； ③“ $\forall x \in R$ ，则 $x^{2} + 1 \geq 1$ ”的否定是“ $\exists x \in R$ ，则 $x^{2} + 1 < 1$ ”；④在 $Δ A B C$ 中，“ $A > B$ ”是“ $\sin A > \sin B$ ”的充要条件．其中正确的命题的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点 $F_{1}$ 做 $x$ 轴的垂线交椭圆于点 $P$ ， $F_{2}$ 为其右焦点，若 $∠ F_{1} F_{2} P = 30^{\circ}$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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二、填空题

13. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一 $2400$ 人、高二 $2000$ 人、高三 $n$ 人中，抽取 $90$ 人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为 $36$ ，那么高三被抽取的人数为．

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14. 已知一个双曲线的方程为： $\frac{x^{2}}{m - 3} - \frac{y^{2}}{m + 2} = 1$ ，则 $m$ 的取值范围是.

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15. 以双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为．

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16. 已知直线 $l$ 的普通方程为 $x + y + 1 = 0$ ，点 $P$ 是曲线 $C : \frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ 上的任意一点，则点 $P$ 到直线 $l$ 的距离的最大值为．

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三、解答题

17. 一个袋中装有6个大小形状完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6．

(1)、从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和为6的概率；

(2)、先后有放回地随机抽取两个球，两次取的球的编号分别记为 $a$ 和 $b$ ，求 $a + b > 5$ 的概率．

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18. 已知 $p :$ $- 2 < a < 2$ ， $q$ ：关于 $x$ 的方程 $x^{2} - x + a = 0$ 有实数根.

(1)、若 $q$ 为真命题，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $p \lor q$ 为真命题， $\neg q$ 为真命题，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表：

价格 $x$ （元/kg）

10

15

20

25

30

日需求量 $y$ (kg)

11

10

8

6

5

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程；

(2)、利用（1）中的回归方程，当价格 $x = 40$ 元/ $k g$ 时，日需求量 $y$ 的预测值为多少？
参考公式：线性回归方程 $y = b x + \hat{a}$ ，其中 $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \cdot \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n \cdot {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i}^{} - \bar{x})}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

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20. 已知椭圆C的焦点为 $F_{1} (- 2 \sqrt{2} ， 0)$ 和 $F_{2} (2 \sqrt{2} ， 0)$ ，长轴长为6，设直线 $y=x+2$ 交椭圆C于A、B两点．
求：

(1)、椭圆C的标准方程；

(2)、弦AB的中点坐标及弦长．

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21. 共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网 $+$ ”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注 $.$ 某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值 $($ 百分制 $)$ 按照 $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $\dots$ ， $[90 ， 100]$ 分成5组，制成如图所示频率分直方图．

(1)、求图中x的值；

(2)、求这组数据的平均数和中位数；

(3)、已知满意度评分值在 $[50 ， 60)$ 内的男生数与女生数的比为 $3 ： 2$ ，若在满意度评分值为 $[50 ， 60)$ 的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女生的概率．

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22. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的离心率为 $\sqrt{5}$ ，虚轴长为4.

(1)、求双曲线的标准方程；

(2)、直线 $l$ ： $y = m x + 1$ 与双曲线 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点， $Δ O A B$ 的面积是 $2 \sqrt{2}$ ，求直线的方程.

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价格 $x$ （元/kg）	10	15	20	25	30
日需求量 $y$ (kg)	11	10	8	6	5