四川省西昌市2020-2021学年高二上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-27 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $\sqrt{3} x - y - 1 = 0$ 的倾斜角大小（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2. 已知直线 $l$ 过点 $(1, 2)$ ，且在 $y$ 轴上的截距为 $x$ 轴上的截距的两倍，则直线 $l$ 的方程是（）

A、 $2 x - y = 0$ B、 $2 x + y - 4 = 0$ C、 $2 x - y = 0$ 或 $2 x + y - 4 = 0$ D、 $2 x - y = 0$ 或 $x + 2 y - 2 = 0$

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3. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左右焦点分别是 $F_{1} ， F_{2} ， P$ 是椭圆 $C$ 上的一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{2}$ ，则 $△ F_{1} P F_{2}$ 面积是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、3

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4. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 $k$ （ $k > 0$ 且 $k \neq 1$ ）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知 $O (0 ， 0) ， A (3 ， 0)$ ，动点 $P (x ， y)$ 满足 $\frac{| P A |}{| P O |} = 2$ ，则动点 $P$ 轨迹与圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 位置关系是（）

A、外离 B、外切 C、相交 D、内切

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5. 若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 $2 x - y - 3 = 0$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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6. 若双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线被圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 所截得的弦长为 $2 \sqrt{2}$ ，则双曲线 $E$ 的离心率是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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7. 已知点 $P$ 是抛物线 $y^{2} = 8 x$ 上的一个动点，则点 $P$ 到点 $A (0 ， 2)$ 的距离与到抛物线准线距离之和的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、3 C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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8. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，过点 $P (1 ， 1)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，若点 $P$ 恰为弦 $A B$ 中点，则直线 $l$ 斜率是（）

A、-3 B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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9. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0$ 且 $b \neq 2)$ 的焦点，椭圆E的离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线交椭圆 $E$ 于 $A ， B$ 两点，则 $△ A B F_{2}$ 的周长是（）

A、8 B、 $\frac{16 \sqrt{3}}{3}$ C、4或 $\frac{16 \sqrt{3}}{3}$ D、8或 $\frac{16 \sqrt{3}}{3}$

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10. 若直线 $y = x + b$ 与曲线 $y = 3 - \sqrt{4 x - x^{2}}$ 有2个公共点，则 $b$ 的取值范围是（）

A、 $[1 - 2 \sqrt{2} ， 1 + 2 \sqrt{2}]$ B、 $(1 - 2 \sqrt{2} ， - 1]$ C、 $[3 ， 1 + 2 \sqrt{2})$ D、 $[- 1 ， 3]$

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11. 已知离心率为 $2$ 的双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ ，过双曲线 $E$ 右焦点且垂直于 $x$ 轴的直线交 $E$ 于 $A ， B$ 两点，设点 $A ， B$ 到双曲线 $E$ 同一条渐近线的距离分别为 $d_{A} ， d_{B}$ ，且 $d_{A} + d_{B} = 4 \sqrt{3}$ ，则双曲线 $E$ 的方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{\sqrt{3}} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2 \sqrt{3}} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$

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12. 已知直线 $l ： 2 x + y + 2 = 0$ ，圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ ．点 $P$ 为直线 $l$ 上的动点，过点 $P$ 作圆 $C$ 的切线 $P A ， P B$ ，切点分别为 $A ， B$ ．当四边形 $P A C B$ 面积最小时，直线 $A B$ 方程是（）

A、 $2 x - y - 1 = 0$ B、 $2 x + y + 1 = 0$ C、 $2 x + y - 1 = 0$ D、 $2 x - y + 1 = 0$

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二、填空题

13. 已知点 $P$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ 上动点，则点 $P$ 到直线 $x + y - 3 = 0$ 距离的最大值是．

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14. 已知直线 $m x + (3 m - 4) y + 3 = 0$ 与直线 $2 x + m y + 3 = 0$ 互相垂直，则实数 $m$ 的值是．

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15. 直线 $m x + y - 1 + 2 m = 0$ 与圆 $C ： {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 交于 $A ， B$ 两点，则弦长 $| A B |$ 的最小值是．

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16. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 4 y ，$ $A B$ 为过焦点 $F$ 的弦，过 $A ， B$ 分别作抛物线的切线，两切线交于点 $P$ ，设 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2}) ， P (x_{0} ， y_{0})$ ，则下列结论正确的有．
①若直线 $A B$ 的斜率为-1，则弦 $| A B | = 8$ ；

②若直线 $A B$ 的斜率为-1，则 $x_{0} = 2$ ；

③点 $P$ 恒在平行于 $x$ 轴的直线 $y = - 1$ 上；

④若点 $M (x_{M} ， y_{M})$ 是弦 $A B$ 的中点，则 $x_{M} = x_{0}$ ．

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三、解答题

17. 已知两点 $M (- 3 ， 2) ， N (5 ， 4)$ ，两直线 $l_{1} ： 2 x - y + 7 = 0 ， l_{2} ： x + y - 1 = 0$ ．

(1)、求过点 $M$ 且与直线 $l_{1}$ 平行的直线方程；

(2)、求过线段 $M N$ 的中点以及直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点的直线方程．

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18. 已知离心率为2的双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两条渐近线与抛物线 $D ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线分别交于 $A ， B$ 两点，且 $△ O A B$ 面积为 $\sqrt{3}$ ( $O$ 为坐标原点)．

(1)、求双曲线 $C$ 的渐近线方程；

(2)、求实数 $p$ 的值．

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19. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y - 2 = 0$ ，点 $A (m ， - 1) ， B (m + 4 ， 2)$ ，其中 $m \in R$ ．

(1)、若直线 $A B$ 与圆 $C$ 相切，求直线 $A B$ 的方程；

(2)、若在圆 $C$ 上存在点 $M$ ，使得 $M A ⊥ M B$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (0 ， - \sqrt{2})$ ，且椭圆 $C$ 的右顶点 $B$ 到直线 $x + y + 2 \sqrt{2} = 0$ 的距离为4．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若过点 $P (2 ， 0)$ 且与直线 $A B$ 平行的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M ， N$ 两点，求 $△ O M N$ 的面积( $O$ 为坐标原点)．

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21. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为2，且过点 $F$ 的直线 $l$ 被抛物线 $C$ 所截得的弦长 $M N$ 为8．

(1)、求直线 $l$ 的方程；

(2)、当直线 $l$ 的斜率大于零时，求过点 $M ， N$ 且与抛物线 $C$ 的准线相切的圆的方程．

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22. 在平面直角坐标系中，动点 $M$ 到点 $F (2 ， 0)$ 的距离和它到直线 $x = \frac{5}{2}$ 的距离的比是常数 $\frac{2 \sqrt{5}}{5} .$

(1)、求动点 $M$ 的轨迹方程；

(2)、若过点 $F$ 作与坐标轴不垂直的直线 $l$ 交动点 $M$ 的轨迹于 $A ， B$ 两点，设点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $P$ ，当直线 $l$ 绕着点 $F$ 转动时，试探究：是否存在定点 $Q$ ，使得 $B ， P ， Q$ 三点共线？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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