四川省遂宁市安居区2020-2021学年高二上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-27 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $x = 1$ 的倾斜角为（）

A、0 B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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2. 两条异面直线所成的角的范围是（）

A、 $(0 ° ， 180 °)$ B、 $(0 ° ， 90 °]$ C、 $(0 ° ， 180 °]$ D、 $(0 ° ， 90 °)$

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3. 如图，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ，则（）

A、 $k_{1} < k_{2} < k_{3}$ B、 $k_{3} < k_{1} < k_{2}$ C、 $k_{3} < k_{2} < k_{1}$ D、 $k_{1} < k_{3} < k_{2}$

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4. 下列关于直线 $l$ ，点 $A 、 B$ 与平面 $α$ 的关系推理错误的是（）

A、 $A \in l ， A \in α ， B \in l ， B \in α \Rightarrow l \subset α$ B、 $A \in α ， A \in β ， B \in α ， B \in β \Rightarrow α \cap β ＝ A B$ C、 $l ⊄ α ， A \in l \Rightarrow A \notin α$ D、 $A \in l ， l \subset α \Rightarrow A \in α$

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5. 点 $P (- 2 ， 1)$ 关于直线 $l ： x - y + 1 = 0$ 对称的点 $P$ ´的坐标是（）

A、 $(1 ， 0)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(0 ， - 1)$ D、 $(- 1 ， 0)$

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6. 与直线 $3 x - 4 y + 5 = 0$ 关于 $x$ 轴对称的直线的方程为（）

A、 $3 x + 4 y - 5 = 0$ B、 $3 x + 4 y + 5 = 0$ C、 $3 x - 4 y + 5 = 0$ D、 $3 x - 4 y - 5 = 0$

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7. 如图所示， $P A$ 垂直于以 $A B$ 为直径的圆 $O$ 所在的平面， $C$ 为圆上异于 $A ， B$ 的任一点，则下列关系中不正确的是（）

A、 $P A ⊥ B C$ B、 $B C ⊥$ 平面 $P A C$ C、 $A C ⊥ P B$ D、 $P C ⊥ B C$

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8. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} 2 x + y - 2 \geq 0 \\ x - 2 y + 4 \geq 0 \\ 3 x - y - 3 \leq 0 \end{array}$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值是）

A、2 B、1 C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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9. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3} π$ B、2π C、π D、 $\frac{\sqrt{2}}{6} π$

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10. 已知 $m ， n ， p$ 是三条不同的直线， $α ， β ， γ$ 是三个不同的平面，有下列命题：
① ${\begin{array}{l} m / / n \\ p / / n \end{array} \Rightarrow m / / p$ ②若 $m / / α ， m / / β ，$ 则 $α / / β$ ③ $m \subset α ， n / / α ，$ 则 $m / / n$ ④直线 $m / / α$ ，直线 $n / / α$ ，那么 $m / / n$ ⑤若 $m / / α ， n / / β ，$ $m / / n$ ，则 $α / / β$ ⑥若 $α // γ ， β // γ$ ，则 $α / / β$ ，

其中所有正确命题数（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11. 设点 $A (1 ， 2) ， B (- 2 ， 3)$ ，若直线 $a x + y + 1 = 0$ 与线段 $A B$ 有交点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 3 ， 2]$ B、 $[- 2 ， 3]$ C、 $(- \infty ， - 2] \cup [3 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 3] \cup [2 ， + \infty)$

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12. 函数 $y = f (x)$ 为定义在 $R$ 上的减函数，函数 $y = f (x - 1)$ 的图像关于点（1，0）对称，若 $x ， y$ 满足不等式 $f (x^{2} - 2 x) + f (2 y - y^{2}) \leq 0$ ，则当 $1 \leq x \leq 4$ 时，求x+2y的取值范围为（）

A、 $[12 ， + \infty]$ B、 $[0 ， 3]$ C、 $[0 ， 12]$ D、 $[3 ， 12]$

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二、填空题

13. 点 $(2 ， 0)$ 到直线 $y = x - 1$ 的距离为

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14. 已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是 cm³ ．

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15. 如图所示，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1 ， O$ 是底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心，则 $O$ 到平面 $A B C_{1} D_{1}$ 的距离为．

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16. 点P在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的面对角线BC₁(线段BC₁)上运动，给出下列五个命题：

①直线AD与直线B₁P为异面直线；②A₁P $//$ 面ACD₁；③三棱锥A-D₁PC的体积为定值；④面PDB₁⊥面ACD₁.⑤直线 $A P$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的大小不变；

其中所有正确命题的序号是.

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三、解答题

17. 已知直线过点 $A (2 ， 1)$ 和 $B (6 ， - 2)$ 两点

(1)、求出该直线的直线方程(用点斜式表示)

(2)、将（1）中直线方程化成斜截式，一般式以及截距式且写出直线在x轴和y轴上的截距.

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18. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ，点 $D$ 是 $A B$ 的中点.

求证：

(1)、 $A C ⊥ B C_{1}$ ；

(2)、 $A C_{1} //$ 平面 $B_{1} C D$ .

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19. 已知直线 $l_{1} ： a x + 3 y + 1 = 0 ， l_{2} ： x + (a - 2) y + a = 0$ ．

(1)、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、当 $l_{1} / / l_{2}$ 时，求直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离．

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20. 如图三棱柱 $A B C － A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C A ＝ C B ， A B ＝ A A_{1} ， ∠ B A A_{1} ＝ 60 °$ ，

(1)、证明 $A B ⊥ A_{1} C$ ；

(2)、若 $A_{1} C ＝ \sqrt{6}$ ， $A B ＝ C B ＝ 2$ ，求三棱柱 $A B C － A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积 $S$ .

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21. 已知m $\in R$ ，并且直线 $(2 m - 1) x + (m + 3) y - 5 m - 1 = 0$ 都经过一个定点P，过点P作直线 $l$ 与x轴､y轴正半轴交于A､B两点，求 $△ A O B$ 面积的最小值及此时直线 $l$ 的方程.

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22. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面四边形ABCD是菱形， $A C \cap B D = O ， △ P A C$ 是边长为2的等边三角形， $P B = P D = \sqrt{6}$ ， $A P = 4 A F$ .

（Ⅰ）求证： $P O ⊥$ 底面ABCD；

（Ⅱ）求直线CP与平面BDF所成角的大小；

（Ⅲ）在线段PB上是否存在一点M，使得 $C M ∥$ 平面BDF？如果存在，求 $\frac{B M}{B P}$ 的值，如果不存在，请说明理由．

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