陕西省西安市蓝田县2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-27 类型：期中考试

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一、单选题

1. 一元二次不等式 $(x - 1) (x + 2) < 0$ 的解集为（）

A、 ${x | x < - 2$ 或 $x > 1}$ B、 ${x | x < - 1$ 或 $x > 2}$ C、 ${x | - 2 < x < 1}$ D、 ${x | - 1 < x < 2}$

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2. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和， $a_{6} = 5$ ，则 $S_{11}$ 的值是（）

A、60 B、11 C、50 D、55

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3. 设 $P = 2 a^{2} - 4 a + 3$ ， $Q = (a - 1) (a - 3)$ ， $a \in R$ ，则有（）

A、 $P \geq Q$ B、 $P > Q$ C、 $P < Q$ D、 $P \leq Q$

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4. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = \sqrt{3}$ ， $b = 1$ ， $A = 120 °$ ，则此三角形解的情况为（）

A、无解 B、只有一解 C、有两解 D、解的个数不确定

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前项和 $S_{n} = 2 n^{2} + 1$ ， $n \in N^{*}$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、20 B、17 C、18 D、19

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6. 若 $a, b, c \in R$ 且 $a > b$ ，则下列不等式中一定成立的是（）

A、 $a c > b c$ B、 $(a - b) c^{2} > 0$ C、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、 $- 2 a < - 2 b$

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7. 若关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + a x + 1 \leq 0$ 的解集为 $\emptyset$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， 4]$ B、 $(0 ， 4)$ C、 $[0 ， 4)$ D、 $(- \infty ， 0] \cup (4 ， + \infty)$

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8. 《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为：（）

A、15.5尺 B、12.5尺 C、9.5尺 D、6.5尺

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9. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $1 - \cos A = \frac{c - b}{c}$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、正三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰三角形

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项为2，且数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{a_{n} - 1}{a_{n} + 1}$ ，数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{2016}$ 为（）

A、504 B、588 C、-588 D、-504

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11. 在各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{6}^{2} + 2 a_{5} a_{9} + a_{8}^{2} = 25$ ，则 $a_{1} a_{13}$ 的最大值是（）

A、25 B、 $\frac{25}{4}$ C、5 D、 $\frac{2}{5}$

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12. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，对 $\forall n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n + 1} = a_{1} + a_{n} + n$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{2019}} =$ （）

A、 $\frac{2018}{2019}$ B、 $\frac{2019}{2020}$ C、 $\frac{4036}{2019}$ D、 $\frac{2019}{1010}$

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二、填空题

13. 不等式 $\frac{x - 1}{x - 3} \leq 0$ 的解集为．

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14. 若 $1 < α < 3$ ， $- 4 < β < 2$ ，则 $α - | β |$ 的取值范围是.

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15. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - 2 y - 2 \leq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \\ y \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = 3 x + 2 y$ 的最大值为．

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16. 如图所示，为了测量A、B两岛屿的距离，小明在D处观测到A、B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A、B两岛屿的距离为海里．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a + 2 b = 2 c \cos A$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $a = 1$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $c$ .

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = 33 n - n^{2}$ .

(1)、求证：数列 ${a_{n}}$ 是等差数列；

(2)、求 $S_{n}$ 的最大值及取得最大值时 $n$ 的值.

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19. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $(b - a) \sin B + a \sin A = c \sin C$ ， $c = 2$ .

(1)、求 $△ A B C$ 的外接圆半径 $R$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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20. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $2 a_{2} = a_{4} - a_{3}$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = 1 + 2 \log_{2} a_{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ 求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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21. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - (a^{2} + 2) x + 2 a$ .

(1)、若不等式 $f (x) + 6 x \leq 0$ 的解集是 $(- \infty, - 2] \cup [- 1, + \infty)$ ，求a的值；

(2)、当 $a \leq 0$ 时，求不等式 $f (x) \leq 0$ 的解集.

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22. 某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每 $1 m$ 长造价40元，两侧墙砌砖，每 $1 m$ 长造价45元，

(1)、求该仓库面积S的最大值；

(2)、若为了使仓库防雨，需要为仓库做屋顶.顶部每 $1 m^{2}$ 造价20元，求仓库面积S的最大值，并求出此时正面铁栅应设计为多长？

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