陕西省汉中市十校2020-2021学年高二上学期数学期中校际联考试卷

试卷更新日期：2021-09-27 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1$ ，2， $3}$ ， $B = {x | (x - 2) (x + 1) < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${1}$ C、 ${1$ ， $2}$ D、 ${1$ ，2， $3}$

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2. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和， $a_{6} = 5$ ，则 $S_{11}$ 的值是（）

A、60 B、11 C、50 D、55

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3. 过点（1，0）且与直线 $y$ = $\frac{1}{2} x - 1$ 平行的直线方程式（）

A、 $y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ B、 $y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$ C、 $y = - 2 x + 2$ D、 $y = - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$

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4. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = \sqrt{3}$ ， $b = 1$ ， $A = 120 °$ ，则此三角形解的情况为（）

A、无解 B、只有一解 C、有两解 D、解的个数不确定

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5. 函数 $f (x) = \frac{x^{3}}{e^{| x |}}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 若 $a, b, c \in R$ 且 $a > b$ ，则下列不等式中一定成立的是（）

A、 $a c > b c$ B、 $(a - b) c^{2} > 0$ C、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、 $- 2 a < - 2 b$

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7. 若关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + a x + 1 \leq 0$ 的解集为 $\emptyset$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， 4]$ B、 $(0 ， 4)$ C、 $[0 ， 4)$ D、 $(- \infty ， 0] \cup (4 ， + \infty)$

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8. 《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为：（）

A、15.5尺 B、12.5尺 C、9.5尺 D、6.5尺

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9. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，则 $f (x)$ （）

A、是奇函数，在R上单调递减 B、是偶函数，在R上单调递增 C、是奇函数，在R上单调递增 D、是偶函数，在R上单调递减

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项为2，且数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{a_{n} - 1}{a_{n} + 1}$ ，数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{2016}$ 为（）

A、504 B、588 C、-588 D、-504

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11. 在各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{6}^{2} + 2 a_{5} a_{9} + a_{8}^{2} = 25$ ，则 $a_{1} a_{13}$ 的最大值是（）

A、25 B、 $\frac{25}{4}$ C、5 D、 $\frac{2}{5}$

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12. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，对 $\forall n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n + 1} = a_{1} + a_{n} + n$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{2019}} =$ （）

A、 $\frac{2018}{2019}$ B、 $\frac{2019}{2020}$ C、 $\frac{4036}{2019}$ D、 $\frac{2019}{1010}$

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二、填空题

13. 不等式 $\frac{x - 1}{x - 3} \leq 0$ 的解集为．

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14. 若直线 $y = k x + 1$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点，且 $∠ P O Q = 120^{\circ}$ （其中 $O$ 为原点），则 $k$ 的值为．

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15. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - 2 y - 2 \leq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \\ y \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = 3 x + 2 y$ 的最大值为．

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16. 如图所示，为了测量A、B两岛屿的距离，小明在D处观测到A、B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A、B两岛屿的距离为海里．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a + 2 b = 2 c \cos A$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $a = 1$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $c$ .

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = 33 n - n^{2}$ .

(1)、求证：数列 ${a_{n}}$ 是等差数列；

(2)、求 $S_{n}$ 的最大值及取得最大值时 $n$ 的值.

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19. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $(b - a) \sin B + a \sin A = c \sin C$ ， $c = 2$ .

(1)、求 $△ A B C$ 的外接圆半径 $R$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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20. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $2 a_{2} = a_{4} - a_{3}$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = 1 + 2 \log_{2} a_{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ 求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A D$ 为正三角形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B / /$ $C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $C D = 2 A B = 2 A D = 4$ .

(1)、求证：平面 $P C D ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求三棱锥 $P - A B C$ 的体积；

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22. 某市财政下拨一项专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x(单位：百万元)的函数 $M (x)$ 单位：百万元)： $M (x) = 50 - \frac{500}{10 + x} ；$ 处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x (单位：百万元)的函数 $N (x)$ (单位：百万元)： $N (x) = 0.2 x$

(1)、设分配给植绿护绿项目的资金为x(百万元)，则两个生态项目五年内带来的生态收益总和为y，写出y关于x的函数解析式和定义域；

(2)、求出y的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？

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