陕西省宝鸡市金台区2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-27 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列四个数中，哪个是数列 ${n (n + 1)}$ 中的一项（）

A、55 B、56 C、57 D、58

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2. 下列说法中正确的是（）

A、数列 ${1 - n}$ 是递增数列 B、数列 ${{(- \frac{1}{2})}^{n}}$ 是递减数列 C、数列 ${3^{n - 1}}$ 是递增数列 D、数列 ${1 - n}$ 的前 $n$ 项和的最大值为20

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3. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前三项为 $a - 1 ， a + 1 ， 2 a + 1$ ，则此数列的通项公式为（）

A、 $2 n - 5$ B、 $2 n - 3$ C、 $2 n - 1$ D、 $2 n + 1$

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4. 一个各项均为正数的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比 $q =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

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5. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n} = 3 \times 2^{n - 1}$ ，则 $a_{1} + a_{3} + \dots + a_{2 k - 1} =$ （）

A、 $4^{k} - 1$ B、 $3 (2^{k} - 1)$ C、 $2 (4^{k} - 1)$ D、 $3 (4^{k} - 1)$

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6. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， $d$ 为公差， $S_{n}$ 为前n项和， $S_{5} < S_{4} ， S_{5} = S_{6} ， S_{7} > S_{6}$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $d > 0$ B、 $a_{6} = 0$ C、 $S_{5}$ 和 $S_{6}$ 均为 $S_{n}$ 的最大值 D、 $S_{8} > S_{4}$

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7. 在 $△ A B C$ 中， $(a + b + c) (c + b - a) = b c$ ，则 $A =$ （）

A、150° B、120° C、60° D、30°

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8. 在 $△ A B C$ 中，若 $A = \frac{π}{3}$ ， $b = 1$ ， $S_{△ A B C} = \sqrt{3} ，$ 则 $△ A B C$ 外接圆的半径为（）

A、 $\frac{\sqrt{39}}{3}$ B、 $\frac{13 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{81}$ D、 $\sqrt{7}$

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9. 若 $a > b$ ， $c > d$ ，则下列不等关系中不一定成立的是（）

A、 $a - d > b - c$ B、 $a + d > b + c$ C、 $a - c > b - c$ D、 $a - c < a - d$

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10. 设 $a = x^{2} - x$ ， $b = x + 3$ ，则 $a$ 与 $b$ 的大小关系为（）

A、 $a > b$ B、 $a = b$ C、 $a < b$ D、与 $x$ 有关

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11. 制作一个面积为2m² ，形状为直角三角形的铁支架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济（够用，又耗材最少）的是（）

A、6.2m B、6.8m C、7m D、7.2m

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12. 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”.如 ${(1101)}_{2}$ 表示二进制的数，将它转换成十进制的形式是 $1 \times 2^{3} + 1 \times 2^{2} + 0 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0} = 13$ ，那么将二进制数 ${(\underset{n 位}{\underset{︸}{11 \dots 1}})}_{2}$ 转换成十进制的数的形式是（）

A、 $2^{n + 1} - 1$ B、 $2^{n} - 1$ C、 $2^{n} - 2$ D、 $2^{n - 1} - 1$

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二、填空题

13. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2 ， d = - 1 ，$ 则 $S_{8} =$ .

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14. 不等式 $\frac{5 x + 1}{x + 1} < 3$ 的解集为.

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15. 已知圆内接四边形 $A B C D$ 的边长分别为 $A B = 1 ， B C = 3 ， C D = D A = 2$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积是.

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16. 在约束条件 ${\begin{matrix} x + 2 y \leq 4 \\ x - y \leq 1 \\ x + 2 \geq 0 \end{matrix}$ 下，目标函数 $z = 3 x - y$ 的最大值为，最小值为.

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三、解答题

17. 解关于 $x$ 的不等式：

(1)、 $- 2 x^{2} + x + 1 < 0$

(2)、 $- x^{2} + 4 x - 4 \leq 0$

(3)、 $x^{2} + (1 - a) x - a < 0$

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18. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中，首项为 $a_{1}$ ，公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .

(1)、写出并推导等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和公式；

(2)、等比数列前 $n$ 项和的有关公式中共涉及哪几个基本量？这几个基本量中知道其中几个可以求出另外几个？

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19. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = 2 ， A C = 4$ ，线段 $C B$ 的垂直平分线交线段 $A C$ 于点 $D$ ， $D A - D B = 1$ .

(1)、求 $B C$ 的长；

(2)、求 $\cos ∠ A C B$ 的值.

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20. 某食品厂用甲、乙两种面粉配制某种混合面粉，甲种面粉每千克含500单位蛋白质和1000单位铁质，售价15元；乙种面粉每千克含700单位蛋白质和400单位铁质，售价10元.若新产品每份至少需要3500单位蛋白质和4000单位铁质，试问：配制一份该混合面粉应如何使用甲、乙原料，才能既满足要求，又使成本最低？请求出生产一份该混合面粉的最低成本.

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