广西岑溪市2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-27 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若集合A＝{x|-1≤x≤2，B＝{x|x-1<0，则A∪B＝（）

A、{x|x<1 B、{x|-1≤x<1 C、{x|x≤2 D、{x|-2≤x<1

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2. 在等差数列{a_n}中，a₁=2，a₃+a₅=10，则a₇=（）

A、5 B、8 C、10 D、14

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3. 已知角 $α$ 的终边经过点 $(4 ， - 3)$ ，则 $\cos α =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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4. 已知直线 $l$ 过圆 $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 的圆心，且与直线 $x + y + 1 = 0$ 垂直，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $x + y - 2 = 0$ B、 $x - y + 2 = 0$ C、 $x + y - 3 = 0$ D、 $x - y + 3 = 0$

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5. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（　　）

A、y=cosx B、y=sinx C、y=lnx D、y=x²+1

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6. 一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ C、2 D、 $\frac{2}{3}$

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7. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ ，（ $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3})$ B、 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{6})$ C、 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ D、 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{6})$

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8. 已知 ${a_{n}}$ 为等比数列，下面结论中正确的是（）

A、 $a_{1} + a_{3} \geq 2 a_{2}$ B、 $a_{1}^{2} + a_{3}^{2} \geq 2 a_{2}^{2}$ C、若 $a_{1} = a_{3}$ ，则 $a_{1} = a_{2}$ D、若 $a_{3} > a_{1}$ ，则 $a_{4} > a_{2}$

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9. 给出下列结论：
⑴某学校从编号依次为001，002，…，900的900个学生中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中有两个相邻的编号分别为053，098，则样本中最大的编号为862．

⑵甲组数据的方差为5，乙组数据为5、6、9、10、5，那么这两组数据中较稳定的是甲．

⑶若两个变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1．

⑷对A、B、C三种个体按3：1：2的比例进行分层抽样调查，若抽取的A种个体有15个，则样本容量为30．

则正确的个数是（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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10. 阅读如图的算法框图，输出结果S的值为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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11. 已知两定点 $A (- 2, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，如果动点 $P$ 满足 $| P A | = 2 | P B |$ ，点 $Q$ 是圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 3$ 上的动点，则 $| P Q |$ 的最大值为（）

A、 $5 - \sqrt{3}$ B、 $5 + \sqrt{3}$ C、 $3 + 2 \sqrt{3}$ D、 $3 - 2 \sqrt{3}$

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12. 如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.

A、100 B、100 $\sqrt{6}$ C、120 $\sqrt{6}$ D、200 $\sqrt{6}$

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二、填空题

13. 若 ${\begin{array}{l} x \leq 2 ， \\ y \leq 2 ， \\ x + y \geq 2 ， \end{array}$ 则目标函数 $z = x + 2 y$ 的最小值为．

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14. 已知2x＋y＝1，且x，y∈R^＋，则 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$ 的最小值为.

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15. 已知 $a ， b ， c$ 为 $△ A B C$ 的三个内角A，B，C的对边，向量 $\overset{⇀}{m} = (\sqrt{3} ， - 1)$ ， $\overset{⇀}{n} = (\cos A ， \sin A)$ ．若 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，且 $a \cos B + b \cos A = c \sin C$ ，则B=

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16. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a = 2$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 1$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为.

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三、解答题

17. 已知数列{a_n和{b_n满足，a₁＝2， $a_{n + 1} = 2 a_{n}$ （n∈N^*），b_n＝n.

(1)、求a_n；

(2)、记数列{a_nb_n的前n项和为T_n ，求T_n.

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18. 已知点 $M (3 ， 1)$ ，直线 $a x - y + 4 = 0$ 及圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ .

(1)、求过 $M$ 点的圆的切线方程；

(2)、若直线 $a x - y + 4 = 0$ 与圆相交于 $A ， B$ 两点，且弦 $A B$ 的长为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $a$ 的值.

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19. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ A = 60^{\circ}$ ， $c = \frac{3}{7} a .$

(1)、求 $sin C$ 的值；

(2)、若 $a = 7$ ，求 $Δ A B C$ 的面积．

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20. 全国大学生机器人大赛是由共青团中央，全国学联，深圳市人民政府联合主办的赛事，是中国最具影响力的机器人项目，是全球独创的机器人竞技平台.全国大学生机器人大赛比拼的是参赛选手们的能力，坚持和态度，展现的是个人实力以及整个团队的力量.某赛季共吸引全国240余支机器人战队踊跃报名，这些参赛战队来自全国六大赛区，150余所高等院校，其中不乏北京大学，清华大学，上海交大，中国科大，西安交大等众多国内顶尖高校，经过严格筛选，最终由111支机器人战队参与到该赛季的全国大学生机器人大赛的激烈角逐之中，某大学共有"机器人”兴趣团队1000个，大一、大二、大三、大四分别有100，200，300，400个，为挑选优秀团队，现用分层抽样的方法，从以上团队中抽取20个团队.

(1)、应从大三抽取多少个团队?

(2)、将20个团队分为甲、乙两组，每组10个团队，进行理论和实践操作考试，甲组的分数如下：甲：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140，从甲组中不低于140分的团队中任取两个团队，求至少有一个团队为144分的概率.

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21. 如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．

(1)、求证：PA⊥BD；

(2)、当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积．

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22. 已知正项数列{a_n的前n项和为S_n ，且a_n²+2a_n＝4S_n﹣1（n∈N^*）．

(1)、求数列{a_n的通项公式；

(2)、若b_n $= \frac{a_{n} + 1}{S_{2 n - 1} \cdot S_{2 n + 1}}$ ，数列{b_n的前n项和为T_n ，求T_n的取值范围．

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