浙江省嘉兴市2021-2022学年高三上学期数学9月基础测试试卷

试卷更新日期：2021-09-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x < 1}$ ， $B = {x | x^{2} - x - 2 \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | x < 1}$ B、 ${x | x \geq - 1}$ C、 ${x | - 1 \leq x < 1}$ D、 ${x | 1 < x \leq 2}$

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2. “数列 ${a_{n}}$ 为常数列”是“数列 ${a_{n}}$ 为等比数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm³）是（）

A、2 B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、3

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4. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} y \leq 2 ， \\ y - x + 1 \geq 0 ， \\ y + 2 x - 4 \geq 0 ， \end{array}$ 设 $y = k x$ ，则 $k$ 的最大值是（）

A、2 B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{2}{7}$

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5. 函数 $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}} \sin x$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知袋中有4个红球，3个黄球，2个绿球.现从中任取2个球，记取到的红球的个数为 $ξ$ ，则 $E (ξ) =$ （）

A、 $\frac{5}{18}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $\frac{8}{9}$

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7. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 是 $A_{1} D$ 的中点，则（）

A、直线 $M B$ 与直线 $B_{1} D_{1}$ 相交，直线 $M B \subset$ 平面 $A B C_{1}$ B、直线 $M B$ 与直线 $D_{1} C$ 平行，直线 $M B$ //平面 $B_{1} D_{1} C$ C、直线 $M B$ 与直线 $A_{1} D$ 垂直，直线 $M B$ //平面 $B_{1} D_{1} C$ D、直线 $M B$ 与直线 $A C$ 异面，直线 $M B ⊥$ 平面 $A D C_{1} B_{1}$

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8. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点 $F_{1} ， F_{2}$ ，它们的离心率分别为 $e_{1} ， e_{2}$ ， $P$ 是它们的一个公共点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{2 π}{3}$ .若 $e_{1} e_{2} = \sqrt{3}$ ，则 $e_{2} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6} +1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6} +2}{2}$

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9. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - a x + 2 b (a > 0)$ ，存在互不相等的实数 $m ， n ， p$ ，使得 $f (m) = a n$ ， $f (n) = a p$ ， $f (p) = a m$ ，则（）

A、 $a > 2 b$ B、 $a < 2 b$ C、 $a > 4 b$ D、 $a < 4 b$

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10. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + \frac{a_{n}^{2}}{2021} (n \in N^{*})$ ，记 $T_{n} = (1 - a_{1}) (1 - a_{2}) \dots (1 - a_{n})$ ，则使 $T_{n} < 0$ 成立的最小正整数 $n$ 是（）

A、2020 B、2021 C、2022 D、2023

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二、填空题

11. 著名数学家棣莫佛（De moivre ， 1667~1754）出生于法国香槟，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文.1707年棣莫佛提出了公式： ${[r (\cos θ + i \sin θ)]}^{n} = r^{n} (\cos n θ + i \sin n θ)$ ，其中 $r > 0$ ， $n \in N^{*}$ .根据这个公式，则 ${(\cos \frac{π}{12} + i \sin \frac{π}{12})}^{6} =$ ；若 ${[r (\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4})]}^{4} = - 16$ ，则 $r =$ .

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12. 已知多项式 ${(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{6} = x^{8} + a_{1} x^{7} + a_{2} x^{6} + a_{3} x^{5} + \dots + a_{7} x + a_{8}$ ，则 $a_{8} =$ ， $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{6} + a_{7} =$ .

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13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， x \geq 0 ， \\ x^{2} + x - 2 ， x < 0 ， \end{array}$ 则 $f (f (- 3)) =$ ；若 $f (f (a)) = 0 (a \in R)$ ，则 $a =$ .

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14. 在△ABC中，角A ， B ， C所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足 $a + c = 2 b$ ，则 $\frac{\sin A + \sin C}{\sin B} =$ ，角 $B$ 的最大值是.

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15. 现有7人排队接种新冠疫苗，若要求甲在乙的前面，乙在丙的前面，且丙丁相邻，则有种不同的排队方法.（用数字作答）

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16. 若正实数 $x$ 、 $y$ 满足 $x + \frac{2}{x} + y + \frac{6}{y} = 10$ ，则 $\frac{5}{y} - \frac{2}{x}$ 的最大值是.

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17. 已知 $| \vec{O B} | = 1$ ， $A ， C$ 是以 $O$ 为圆心， $2 \sqrt{2}$ 为半径的圆周上的任意两点，且满足 $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = 0$ ，设平面向量 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 的夹角为 $θ$ ( $0 \leq θ \leq \frac{π}{4}$ )，则平面向量 $\vec{O A}$ 在 $\vec{B C}$ 方向上的投影的取值范围是.

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - \cos 2 x (x \in R)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、设 $α \in (0 ， \frac{π}{3})$ ，且 $f (α) = \frac{6}{5}$ ，求 $\sin 2 α$ 的值.

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，底面 $A B C$ 是边长2的等边三角形， $P A = P C = \sqrt{5}$ ，点F在线段BC上，且 $F C = 3 B F$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点， $E$ 为的 $P D$ 中点.

(Ⅰ)求证： $E F$ //平面 $P A B$ ；

(Ⅱ)若二面角 $P - A C - B$ 的平面角的大小为 $\frac{2 π}{3}$ ，求直线 $D F$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ，且 $b_{n} = \frac{n + 1}{1 \times 2} + \frac{n + 1}{2 \times 3} + \dots + \frac{n + 1}{n (n + 1)} (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求满足 $T_{n} \geq 2 (a_{n} + 1) (b_{n} - 1) - 1$ 的正整数 $n$ 的值.

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21. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到其准线的距离为 $2$ ，过点 $F$ 的直线交抛物线于 $A$ 、 $B$ 两点，直线 $A O$ 、 $B O$ 分别与直线 $y = - 2$ 交于点 $M$ 、 $N$ （ $O$ 为原点）.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $Q (0 ， - 5)$ ，试问： $△ M N Q$ 的外接圆是否恒经过 $y$ 轴上的定点 $P$ （异于点 $Q$ ）？若是，求出点 $P$ 的坐标；若不是，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = - x \ln x + a (x + 1) ， a \in R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq 2 a$ 在 $[2 ， + \infty)$ 上恒成立.求 $a$ 的取值范围；

(3)、若实数b满足 $a < - b^{2} + 1$ 且 $b > 1$ ，证明： $f (x) < 1 - 2 \ln b^{2}$ .

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