陕西省汉中市2021-2022学年高三上学期文数第一次校际联考试卷

试卷更新日期：2021-09-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x + 1 = 0}$ ， $B = {x | x^{2} - 1 = 0}$ ，则 $A \cap B$ 等于（）

A、 ${- 1 ， 1}$ B、 ${1}$ C、 ${- 1}$ D、 $ϕ$

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2. 下列函数中是偶函数的为（）

A、 $y = \sin x$ B、 $y = \tan x$ C、 $y = \cos x$ D、 $y = \sin x \cos x$

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3. 已知 $i$ 为虚数单位，若复数 $(1 + a i) (2 + i)$ 是纯虚数，则实数 $a$ 等于（）

A、−2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、2

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4. 已知 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{3}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、30° B、45° C、60° D、120°

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5. 已知全集为R，集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 > 0}$ ， $B = {x | 0 < x < 3}$ ，则 $(∁_{R} A) \cup B =$ （）

A、 $(- 1 ， 3)$ B、 $[- 1 ， 3)$ C、 $(0 ， 2]$ D、 $[- 1 ， 2]$

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6. 人口普查是世界各国所广泛采取的一种调查方法，根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作.截止2021年6月，我国共进行了七次人口普查，下图是这七次人口普查的城乡人数和增幅情况，下列说法错误的是（）

A、城镇人口数逐次增加 B、历次人口普查中第七次普查城镇人口最多 C、城镇人口比重逐次增加 D、乡村人口数逐次增加

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7. 甲､乙两名大学生报名参加第十四届全运会志愿者，若随机将甲､乙两人分配到延安､西安､汉中这3个赛区，则甲､乙都被分到汉中赛区的概率为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其大意为：有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子？这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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9. 若 $a > 0$ ， $b > 0$ 且 $2 a + b = 4$ ，则 $\frac{4}{a b}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、4 D、 $\frac{1}{4}$

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10. 设复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 满足 $| z_{1} | = | z_{2} | = 1$ ， $z_{1} - z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ ，则 $| z_{1} + z_{2} | =$ （）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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11. 如图为函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ 的部分图象，将其向左平移 $\frac{1}{4}$ 个单位长度后与函数 $g (x)$ 的图象重合，则 $g (x)$ 可以表示为（）

A、 $\sin 2 π x$ B、 $- \sin 2 π x$ C、 $\sin π x$ D、 $- \sin π x$

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12. 已知函数 $f (x) = \sin x \cdot \sin (x + \frac{π}{3}) - \frac{1}{4}$ 的定义域为 $[m ， n] (m < n)$ ，值域为 $[- \frac{1}{2} ， \frac{1}{4}]$ ，则 $n - m$ 的最小值是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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二、填空题

13. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{5} = 5$ ， $a_{11} = 7$ ，则 $a_{8} =$ .

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14. 设 ${a_{n}}$ 是各项为正数的等比数列，且 $a_{3} a_{4} = 2$ ，则 $\log_{2} a_{2} + \log_{2} a_{5} =$ .

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15. 若x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y \geq 0 ， \\ 2 x - y \geq 0 ， \\ x \leq 1 ， \end{matrix}$ ，则z=3x+2y的最大值为．

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16. 已知 $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形，D为 $B C$ 的中点，点P在线段 $A D$ （包括端点）上运动，则 $\vec{P A} \cdot (\vec{P B} + \vec{P C})$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 设 ${a_{n}}$ 是公比不为1的等比数列， $a_{1}$ 为 $a_{2}$ ， $a_{3}$ 的等差中项．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的公比；

(2)、若 $a_{1} = 1$ ，求数列 ${n a_{n}}$ 的前n项和．

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18. 在 $△ A B C$ 中， $a + b = 11$ ， $c = 7 ， \cos A = - \frac{1}{7}$ .求：
（Ⅰ）a的值；

（Ⅱ） $\sin C$ 和 $△ A B C$ 的面积．

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B = B C = 2 \sqrt{2}$ ， $P A = P B = P C = A C = 4$ ，O，M分别为 $A C$ ， $B C$ 的中点.

(1)、证明： $P O ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求四棱锥 $P - A B M O$ 的体积.

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} (x - 1) - \frac{1}{2} e^{a} x^{2}$ ， $a < 0$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值.

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上端点为 $M (0 ， 1)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设经过点 $(2 ， - 1)$ 且不经过点M的直线l与椭圆C相交于A，B两点．若 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 分别为直线 $M A$ ， $M B$ 的斜率，求 $k_{1} + k_{2}$ 的值

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22. 已知直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + 2021 t \\ y = \sqrt{3} + 2021 \sqrt{3} t \end{array}$ （ $t$ 为参数）．在以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} = 4 ρ \cos θ + 2 \sqrt{3} ρ \sin θ - 4.$

(1)、求直线 $l$ 的普通方程和曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、设直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，求 $| O A | \cdot | O B |$ ．

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23. 已知函数 $f (x) = | x + a | + | x - 2 |$ 的定义域为R．

(1)、当 $a = 5$ 时，求不等式 $f (x) > 9$ 的解集；

(2)、若关于x的不等式 $f (x) \geq 3$ 恒成立，求实数 $α$ 的取值范围．

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