山西省运城市2022届高三上学期理数入学摸底测试试卷

试卷更新日期：2021-09-26 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知复数 $Z$ 满足 $z - \bar{z} = - 4 i$ ，则 $Z$ 的虚部是（）

A、2 B、-2 C、-2i D、2i

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2. 已知 $f (x) = e^{x} - x$ ，命题 $p ： \forall x \in R ， f (x) > 0$ ，则（）

A、 $p$ 是真命题， $\neg p ： \exists x_{0} \in R ， f (x_{0}) \leq 0$ B、 $p$ 是真命题， $\neg p ： \exists x_{0} \in R ， f (x_{0}) < 0$ C、 $p$ 是假命题， $\neg p ： \exists x_{0} \in R ， f (x_{0}) \leq 0$ D、 $p$ 是假命题， $\neg p ： \exists x_{0} \in R ， f (x_{0}) < 0$

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3. 设函数 $g (x) = f (x) + x^{2}$ 是定义在R上的奇函数，且 $F (x) = f (x) + 3^{x}$ ，若 $f (1) = 1$ ，则 $F (- 1) =$ （）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $- \frac{7}{3}$ C、 $- \frac{8}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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4. “ $1 < m < 5$ ”是“方程 $\frac{x^{2}}{m - 1} + \frac{y^{2}}{5 - m} = 2$ 表示椭圆”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 汕头某家电企业要将刚刚生产的100台变频空调送往市内某商场，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供调配，每辆甲型货车的运输费用是400元，可装空调20台，每辆乙型货车的运输费用是300元，可装空调10台，若每辆车至多运一次，则企业所花的最少运费为（）

A、2000元 B、2200元 C、2400元 D、2800元

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6. 将函数 $y = \sin (2 x + \frac{2 π}{3})$ 的图形向左平移 $φ$ $(φ > 0)$ 个单位后得到的图象关于y轴对称，则正数 $φ$ 的最小值是（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{12}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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7. 两直线 $\frac{x}{m} - \frac{y}{n} = 1$ 与 $\frac{x}{n} - \frac{y}{m} = 1$ 的图象可能是图中的哪一个（）

A、 B、 C、 D、

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8. 某市抽调5位医生分赴4所医院支援抗疫，要求每位医生只能去一所医院，每所医院至少安排一位医生.由于工作需要，甲､乙两位医生必须安排在不同的医院，则不同的安排种数是（）

A、90 B、216 C、144 D、240

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9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）

A、32 B、24 C、16 D、8

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10. 如图所示，点 $A$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右顶点， $P$ 为双曲线上一点，作 $P B ⊥ x$ 轴，垂足为 $B$ ，若 $A$ 为线段 $O B$ 的中点，且以 $A$ 为圆心， $A P$ 为半径的圆与双曲线 $C$ 恰有三个公共点，则 $C$ 的离心率为(　　)

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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11. 已知函数 $f (x) = 2 n \sqrt{1 + x^{2}} - x$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上的最小值是 $a_{n} (n \in N^{*})$ ， $b_{n} = \frac{1}{a_{n}^{2}}$ ，设 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若对 $n \in N^{*}$ ， $T_{n} < 4 k^{2} + k$ 恒成立，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{3}]$ B、 $[\frac{2}{3} ， 1]$ C、 $(- \infty ， - \frac{1}{2}] \cup [\frac{1}{4} ， + \infty)$ D、 $[\frac{1}{3} ， \frac{1}{2}]$

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12. 已知函数 $f (x) = \ln x + a x^{2} + (2 + a) x (a < 0)$ ， $g (x) = \frac{x}{e^{x}} - 2$ ，对任意的 $x_{0} \in (0 ， 2]$ ，关于 $x$ 的方程 $f (x) = g (x_{0})$ 在 $(0 ， e]$ 上有实数根，则实数 $a$ 的取值范围为（）（其中 $e = 2.71828 \dots$ 为自然对数的底数）.

A、 $[- \frac{1}{e} ， 0)$ B、 $(- \infty ， - \frac{1}{e}]$ C、 $[- e ， 0)$ D、 $(- \infty ， - e]$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{O A} = (1 ， 4)$ ， $\vec{O B} = (2 ， 3)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， m)$ ，且 $\vec{A B} / / \vec{b}$ ，则实数m的值为．

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14. 在△ $A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a \cos B (\tan A + \tan B) = \sqrt{3} c$ ，则角 $A$ 的大小为．

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15. 如图，已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 为正方形， $P$ 为棱 $A_{1} D_{1}$ 的中点，且 $P A = A B = 6$ ，则四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球的体积为.

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16. 若函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{x + 2} - 3 ， x \leq 0 \\ x^{3} - a x + 2 ， x > 0 \end{matrix}$ 有三个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知公差为正数的等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 9$ ，且 $a_{2}$ 是 $a_{1}$ 与 $a_{3} + 4$ 的等比中项．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} \cdot 2^{a_{n} + 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和．

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18. 如图，已知在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为等腰梯形， $B C / / A D$ ， $A B = C D$ ， $E$ 为棱 $P B$ 上一点， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，且 $A C ⊥ B D$ ， $A D = 1$ ， $B C = P C = P B = 3$ ， $P O = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、证明： $A C ⊥ D E$ ；

(2)、是否存在点 $E$ ，使二面角 $B - D C - E$ 的余弦值为 $\frac{3 \sqrt{76}}{38}$ ？若存在，求出 $E$ 点位置，若不存在，请说明理由．

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19. 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额，4个球除所标面值外完全相同．

(1)、若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个所标的面值均为10元．求
①顾客所获的奖励额为60元的概率；

②顾客所获的奖励额的分布列与均值．

(2)、商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获得奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．

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20. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上一点 $M (m ， 9)$ 到其焦点的距离为10.

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、设过焦点F的的直线 $l$ 与抛物线C交于 $A ， B$ 两点，且抛物线在 $A ， B$ 两点处的切线分别交x轴于 $P ， Q$ 两点，求 $| A P | \cdot | B Q |$ 的取值范围.

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21. 设 $f (x) = x e^{x} - a x^{2}$ ， $g (x) = \ln x + x - x^{2} + 1 - \frac{e}{a}$ .

(1)、求 $g (x)$ 的单调区间；

(2)、讨论 $f (x)$ 零点的个数；

(3)、当 $a > 0$ 时，设 $h (x) = f (x) - a g (x) \geq 0$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 2 + \frac{3}{5} t \\ y = - 2 + \frac{4}{5} t \end{array}$ ，( $t$ 是参数).以坐标原点为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 c o s θ$ .

(1)、求 $C_{1}$ 的普通方程和 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、若 $C_{1} ， C_{2}$ 交于 $A ， B$ 两点， $P$ 点坐标为 $(- 2 ， - 2)$ ，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 4 | + | x + 1 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \geq 6$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x) \geq a^{2} + 2 a$ 对一切实数 $x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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