全国2022届高三文数第一次学业质量联合检测试卷

试卷更新日期：2021-09-26 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x = e^{n} ， n = - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | y = \sqrt{1 - x}}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ B、 ${- 1 ， 0}$ C、 ${\frac{1}{e} ， 1}$ D、 ${1 ， 2}$

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2. 下图记录了某景区某年3月至12月客流量情况：

根据该折线图，下列说法正确的是（）

A、景区客流量逐月增加 B、客流量的中位数为8月份对应的游客人数 C、3月至7月的客流量情况相对于8月至12月波动性更小，变化比较平稳 D、4月至5月的客流量增长量与8月至9月的客流量回落量基本一致

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3. 复数 $z = \frac{2 + i}{1 + i^{11}}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 已知函数 $f (x) = x + \frac{4}{x}$ ，则“ $x > 4$ ”是“ $f (x) > 5$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 抛物线 $C_{1} ： y^{2} = 12 x$ 的焦点到双曲线 $C_{2} ： y^{2} - x^{2} = 4$ 的渐近线的距离为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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6. 某微生物科研机构为了记录微生物在不同时期的存活状态，计划将微生物分批次培养.第一批次，培养1个；从第二批次开始，每一批次培养的个数是前一批次的2倍.按照这种培养方式（假定每一批次的微生物都能成活），要使微生物的总个数不少于950，大概经过的批次为（）

A、10 B、9 C、8 D、7

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7. 已知△ $A B C$ 的面积为 $6$ ， $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = 9$ ，则 $\sin 2 B =$ （）

A、 $- \frac{7}{25}$ B、 $\frac{24}{25}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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8. 如图，某几何体的三视图为三个全等的等腰直角三角形，其中直角边长为 $2$ ，则该几何体的各个面中，面积最大的面所对的顶点到该面的距离为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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9. 曲线 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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10. 对于函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的图象与性质，有下列四个说法：
甲：函数图象经过点 $(0 ， \frac{1}{2})$ ；

乙：函数图象两条相邻对称轴之间的距离为 $\frac{π}{4}$ ；

丙：当 $x \in [- \frac{π}{12} ， \frac{π}{4}]$ 时，函数的最小值为 $- \frac{1}{2}$

丁：点 $(\frac{π}{4} ， 0)$ 是函数图象的一个对称中心.

若上述四个说法中，有且只有一个是错误的，则该说法是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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11. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 ${x | x \neq 0}$ ，且满足如下性质：①对于定义域内的任意一个 $x$ ，都有 $f (- x) = - f (x)$ ；②当 $x > 0$ 时， $f (x) + x f^{'} (x) > 0$ 恒成立；③ $f (3) = 2$ .则不等式 $f (x) > \frac{6}{x}$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 3) \cup (3 ， + \infty)$ B、 $(- 6 ， 0) \cup (6 ， + \infty)$ C、 $(- 6 ， 0) \cup (0 ， 6)$ D、 $(- 3 ， 0) \cup (3 ， + \infty)$

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12. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ ，点 $B (1 ， c) (c > 1)$ ，射线 $O B$ 与圆 $O$ 交于点 $A (a ， b)$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $a < b < c$ B、 $a b < \frac{1}{2}$ C、 $\log_{a} c < b^{a} < a^{b}$ D、 $1 < a + b < \sqrt{2}$

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二、填空题

13. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ，则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | =$ .

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14. 将一个直角边长为1的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体的侧面积为.

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15. 如图，半圆 $A B$ 的圆心为 $O$ ，半径为 $2$ ， $B$ 为 $O P$ 的中点，点 $M$ 为半圆 $A B$ 上的一个动点，点 $N$ 在直线 $A B$ 的上方，且 $P M = P N$ ， $P M ⊥ P N$ .设 $∠ M O B = θ$ ，则四边形 $O M N P$ 面积的最大值为.

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16. 若椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上有两个动点 $M$ ， $N$ 满足 $O M ⊥ O N$ （ $O$ 为坐标原点），过点 $O$ 作 $O P ⊥ M N$ ，垂足 $P$ 的轨迹为圆，则称该圆为 $C$ 的内准圆.已知 $C$ 的内准圆方程为 $x^{2} + y^{2} = \frac{2 b^{2}}{3}$ ，则 $C$ 的离心率为.

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三、解答题

17. “直播带货”指通过一些互联网平台，使用直播技术，进行近距离商品展示､咨询答复､导购的新型服务方式.某厂家分别选择甲､乙两个直播平台销售同一产品，厂家为了解产品的销售情况，随机调查了甲､乙两个直播平台20天的日销售额，得到如下列联表：

平台	天数		总计
平台	日销售额不大于8万元	日销售额大于8万元	总计
甲	13	7	20
乙	6	14	20
总计	19	21	40

(1)、分别估计厂家产品在甲､乙平台日销售额大于8万元的概率；

(2)、试判断是否有95%的把握认为该产品的日销售额是否超过8万元与选择的直播平台有关？

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

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18. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{n}^{2}$ ， $S_{n}$ ， $a_{n}$ 成等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、请从以下三个条件中任意选择一个，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和T_n ， .
条件Ⅰ：设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = {(- 1)}^{n} a_{n}$ ；条件Ⅱ：设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = 2^{a_{n}} \cdot a_{n}$ ；条件Ⅲ：设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{1}{\sqrt{a_{n + 1}} + \sqrt{a_{n}}}$ .

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19. 如图，已知等腰梯形 $A B C D$ 满足 $A D // B C$ ， $2 A D = B C = 2$ ， $∠ D C B = \frac{π}{3}$ ，沿对角线 $B D$ 将 $△ A B D$ 折起，使得平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ .

(1)、若点 $E$ 是棱 $A D$ 上的一个动点，证明： $B E ⊥ C D$ ；

(2)、若点 $P$ ， $N$ 分别是棱 $C D$ ， $B C$ 的中点， $K$ 是棱 $B D$ 上的一个动点，试判断三棱锥 $K - A N P$ 的体积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，试说明理由.

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20. 已知椭圆 $M ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，直线 $x - \sqrt{15} y + \sqrt{15} = 0$ 过椭圆 $M$ 的一个焦点和一个顶点.

(1)、求椭圆 $M$ 的方程；

(2)、若 $A$ 为椭圆 $M$ 的左顶点， $B$ ， $C$ 是椭圆 $M$ 上的两点，△ $A B C$ 的内切圆 $K$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} - 4 x + m = 0$ .
（i）求实数 $m$ 的值；

（ii） $P$ 为椭圆 $M$ 的上顶点，椭圆 $M$ 上是否存在两点 $E$ ， $F$ ，使得圆 $K$ 是△ $P E F$ 的内切圆？若存在，求出直线 $E F$ 的方程；若不存在，说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} (1 - x)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $a$ ， $b$ 为不相等的实数，且 $e^{b} - e^{a} = b e^{a} - a e^{b}$ ，证明： $a + b > 0$ .

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t - 2 \\ y = t + 2 \end{array}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $\frac{2 a}{ρ} = \frac{1}{\cos θ} - \cos θ (a > 0)$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程与 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、若曲线 $C_{2}$ 上的动点 $M$ 到曲线 $C_{1}$ 的最小距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，求实数 $a$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = 2 x - 1$ ， $g (x) = | f (x - 1) | + | f (\frac{x}{2}) |$ .

(1)、解不等式 $g (x) > f (x)$ ；

(2)、若对于任意的实数 $t$ ，关于 $x$ 的方程 $g (x) - t^{2} + 2 t - m = 0$ 恒有实数解，求实数 $m$ 的取值范围.

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