全国2022届高三理数第一次学业质量联合检测试卷

试卷更新日期：2021-09-26 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 设集合 $A = {x \in N ∣ - 1 < x < 2}$ ， $B = {y | y = 2^{x} ， x \in A}$ ，则 $A \cup B$ 的子集的个数为（）

A、2 B、3 C、7 D、8

查看试题解析
2. 某学校开展了“勤俭节约，从我做起”活动，活动开始前，该学校对学生每周的消费情况做了问卷调查，将统计数据整理得频率分布直方图如图，根据此频率分布直方图估计该校学生每周消费金额的众数为（）

A、99.4 B、99.5 C、105 D、110

查看试题解析
3. 已知 $z (2 + 3 i) - \bar{z} = - 2 + 6 i$ ， $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，则 $z =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

查看试题解析
4. 圆的内接正方形的边长与圆的半径的比例称为白银比例，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金比例”．山西应县释迦塔（即著名的应县木塔），是中国现存较为古老的木构塔式建筑．该木塔总高度与顶层檐柱柱头以下部分的高度之比与白银比例高度吻合．已知木塔顶层檐柱柱头以下部分的高度为46.83米，则应县木塔的总高度大约是（）（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ）

A、60.22米 B、63.23米 C、66.22米 D、70.50米

查看试题解析
5. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，直线 $a x - b y = 0$ 与圆 $M ： x^{2} + y^{2} - m x + 1 = 0$ 相切，则实数 $m$ 的值是（）

A、 $\pm 1$ B、 $\pm 2$ C、 $\pm 4$ D、 $\pm 8$

查看试题解析
6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{15}{2}$ B、 $\frac{23}{3}$ C、7 D、 $\frac{47}{6}$

查看试题解析
7. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则“ $S_{n} = 3 n + 1$ ”是“数列 ${a_{n}}$ 是常数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
8. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B = \frac{π}{3}$ ， $A B = 2$ ， $B C$ 边上的中线 $A D$ 的长度为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆的面积为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{39}}{3}$ B、 $\frac{52 π}{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{39}}{3}$ D、 $\frac{208 π}{3}$

查看试题解析
9. 某公司为方便员工停车，租了6个停车位，编号如图所示．公司规定：每个车位只能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位．记事件 $A$ 为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”，事件 $B$ 为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”，则 $P (A | B) =$ （）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{5}$

查看试题解析
10. 已知 $A$ 是锐角△ $A B C$ 的一个内角，若 $(2 - \sin A) \tan 2 A - \cos A = 0$ ，则 $\cos A =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

查看试题解析
11. 某圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内接于这个圆锥的内切球，则该圆锥的体积与正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积的比值为（）

A、 $4 π$ B、 $\frac{9 \sqrt{3}}{8} π$ C、 $4 \sqrt{3} π$ D、 $24 \sqrt{3} π$

查看试题解析
12. 设函数 $f (x) = a^{x} (a > 1)$ ，对任意实数 $b > 2 e^{2}$ （ $e$ 为自然对数的底数），关于 $x$ 的方程 $f (x) = b x - e^{2}$ 恒有两个不相等的实数根，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1 ， e^{2}]$ B、 $(1 ， e^{2})$ C、 $(e^{2} ， + \infty)$ D、 $[e^{2} ， + \infty)$

查看试题解析

二、填空题

13. 直线 $l$ 与曲线 $y = (x^{2} + 1) \ln x$ 在点 $(1 ， 0)$ 处相切，则直线 $l$ 在 $y$ 轴上的截距为．

查看试题解析
14. 已知向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是两个互相垂直的单位向量， $O$ 是坐标原点， $\vec{O A} = 3 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{O B} = 2 \vec{e_{1}} + k \vec{e_{2}} (k > 0)$ ，若 $△ O A B$ 是直角三角形，则实数 $k$ 的值为．

查看试题解析
15. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线 $l$ 过坐标原点 $O$ 且与双曲线 $C$ 交于点 $M$ ， $N$ ．若 $| M N | = | F_{1} F_{2} |$ ，则四边形 $M F_{1} N F_{2}$ 的面积为．

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示， $B$ 是某个三角形的内角，若关于 $a$ 的不等式 $f (B) \leq e^{a} - a$ 在 $R$ 上恒成立，则 $B$ 的取值范围为．

查看试题解析

三、解答题

17. 梨树绝大多数品种自花授粉，结实率很低，因此果农在栽培梨树的时候，必须在果园配置授粉树，并结合适当的辅助授粉方法，以便更顺利地完成梨树的授粉受精过程，以此达到果园丰产稳产、高品质的目的．某地区将梨树蜜蜂授粉和自然授粉的花朵坐果率进行比较，统计数据如下：

坐果	授粉方式		总计
坐果	自然授粉	蜜蜂授粉	总计
花朵未坐果	1000	300	1300
花朵坐果	50	80	130

(1)、自然授粉和蜜蜂授粉的花朵坐果数的频率分别是多少？

(2)、根据数据完成下列

2 \times 2

列联表，并据此判断能否有99.9%的把握认为自然授粉与蜜蜂授粉的花朵坐果率有差异？

坐果	授粉方式		总计
坐果	自然授粉	蜜蜂授粉	总计
花朵未坐果	1000	300	1300
花朵坐果	50	80	130
总计

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.05	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	3.841	6.635	7.879	10.828

查看试题解析

18. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ ， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $T_{n} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} b_{n}$ ，从① $b_{n} = 3^{n}$ ；② $S_{n} = n^{2} + n$ ；③ $T_{n} = \frac{3}{2} + (n - \frac{1}{2}) \cdot 3^{n + 1}$ 中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

查看试题解析
19. 如图，在多面体 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 为菱形， $B B_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B = B C = 2 C C_{1} = 2$ ， $N$ 是 $A C$ 的中点， $M$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的动点， $B C_{1} ⊥ A_{1} B_{1}$ ．

(1)、证明：平面 $B C_{1} N ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} N$ ；

(2)、当点 $M$ 位于棱 $A_{1} B_{1}$ 的什么位置时，面 $B B_{1} C_{1} C$ 与面 $M N C_{1}$ ，所成的二面角的正弦值最小？

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = \sin x - x + \frac{1}{2} x^{2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间及最值；

(2)、证明： $\sum_{k = 1}^{n} \sin \frac{1}{k^{2}} > \frac{n}{2 (n + 1)}$ ， $n \in N^{*}$ ．

查看试题解析
21. 已知直线 $l$ 过原点 $O$ ，且与圆 $A$ 交于 $M$ ， $N$ 两点， $| M N | = 4$ ，圆 $A$ 与直线 $y = - 2$ 相切， $O A$ 与直线 $l$ 垂直，记圆心 $A$ 的轨迹为曲线 $C$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过直线 $y = - 1$ 上任一点 $P$ 作 $C$ 的两条切线，切点分别为 $Q_{1}$ ， $Q_{2}$ ，证明：
①直线 $Q_{1} Q_{2}$ 过定点；

② $P Q_{1} ⊥ P Q_{2}$ ．

查看试题解析
22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} - 2 ρ (1 + \sin θ - 2 \sin^{2} \frac{θ}{2}) + 1 = 0$ ．

(1)、求 $C_{1}$ 的直角坐标方程；

(2)、设点 $M$ 的直角坐标为 $(0 ， - 1 - \sqrt{2})$ ，点 $N$ 的直角坐标为 $(0 ， - 1 + \sqrt{2})$ ，动点 $P$ 满足 $\vec{P M} \cdot \vec{P N} = 0$ ，求点 $P$ 的轨迹 $C_{2}$ 的参数方程，并判断 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的位置关系．

查看试题解析
23. 已知不等式 $| 2 x - 1 | + | 2 x + 1 | > | 4 a - 2 |$ （ $a \in R$ ）对任意的 $x \in R$ 都成立，方程 $| 2^{x} - 1 | = b$ （ $b \in R$ ）有两个不相等的实数根．

(1)、求实数 $a$ ， $b$ 的取值范围；

(2)、若 $a + b = 1$ ，求 $\frac{a}{a + 1} + \frac{b}{b + 1}$ 的最大值．

查看试题解析