内蒙古包头市2021-2022学年高三上学期理数起点调研考试试卷

试卷更新日期：2021-09-26 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $U = {- 3 ， - 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $A = {- 1 ， 0 ， 1}$ ， $B = {- 2 ， - 1}$ ，则 $∁_{U} (A \cup B) =$ （）

A、 ${- 3 ， 2}$ B、 ${- 3 ， - 2 ， 0 ， 1 ， 2}$ C、 ${- 3 ， - 2 ， 2}$ D、 ${- 3 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 若 $\frac{α}{2}$ 为第三象限角，则（）

A、 $\cos α < 0$ B、 $\cos α > 0$ C、 $\sin α < 0$ D、 $\sin α > 0$

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3. 为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，某学校积极推进教学改革，开发了7门校本课程，其中艺术类课程3门，体育类课程4门，王颖同学从7门课程中任选2门，则含有艺术类课程的概率为（）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{5}{7}$ D、 $\frac{6}{7}$

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4. 已知圆M与两坐标轴都相切，且M到直线 $y = 2 x - 2$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则圆M的直径为（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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5. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，其公比大于 $1$ ，且 $a_{2} + a_{4} = 20$ ， $a_{3} = 8$ ，则 $\frac{S_{10}}{a_{5} - 1} =$ （）

A、66 B、64 C、62 D、60

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6. 下图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（）

A、F B、E C、H D、G

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7. 设O为坐标原点，直线 $x = a$ 与双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两条渐近线分别交于A，B两点，若C的焦距为12，则当 $△ O A B$ 的面积最大时，C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{72} - \frac{y^{2}}{72} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{18} - \frac{y^{2}}{18} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{36} = 1$

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8. 若数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{m + n} = a_{m} + a_{n}$ ，则 $a_{4} + a_{5} + \cdot \cdot \cdot + a_{12} =$ （）

A、136 B、144 C、162 D、170

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9. 设函数 $f (x) = \ln | x + 3 | + \ln | x - 3 |$ ，则 $f (x)$ （）

A、是偶函数，且在 $(- \infty ， - 3)$ 单调递减 B、是奇函数，且在 $(- 3 ， 3)$ 单调递减 C、是奇函数，且在 $(3 ， + \infty)$ 单调递增 D、是偶函数，且在 $(- 3 ， 3)$ 单调递增

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10. 已知球 $O$ 的表面积为 $64 π$ ， $△ A B C$ 是顶点都在球 $O$ 的球面上的等边三角形， $O$ 到平面 $A B C$ 的距离为2，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $9 \sqrt{3}$

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11. 若 $2^{a} - 2^{b} > \ln b - \ln a$ ，则（）

A、 $3^{a - b} > 1$ B、 ${(\frac{1}{3})}^{b} < {(\frac{1}{3})}^{a}$ C、 $\ln \frac{a}{b} < 0$ D、 $\ln \frac{b}{a} > 0$

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12. 关于函数 $f (x) = \frac{2 \sin 2 x}{4 + \cos 2 x}$ ，则下列结论中正确的有（）
① $f (x) = f (x + π)$ ；② $f (x)$ 的最大值为 $\frac{2 \sqrt{15}}{15}$ ；

③ $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{4} ， 0)$ 单调递增；④ $f (x)$ 在 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ 单调递减．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

13. 已知两非零向量 $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角为 $θ$ ，且 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 2$ ， $| 2 \vec{a} - \vec{b} | = 2 \sqrt{7}$ ，则 $\sin θ =$

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14. 安排6名志愿者扶贫干部到甲、乙、丙三个贫困村做扶贫工作，每人只做1个村的脱贫工作，甲村安排1名，乙村安排2名，丙村安排3名，则不同的安排方式共有种．

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15. 设复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 满足 $| z_{1} | = | z_{2} | = 2$ ， $z_{1} + z_{2} = 1 + \sqrt{3} i$ ，则 $| z_{1} - z_{2} | =$

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16. 设有下列四个命题：
$p_{1} ：$ 空间共点的三条直线不一定在同一平面内.

$p_{2} ：$ 过空间中任意三点有且仅有一个平面.

$p_{3} ：$ 若三个平面两两相交，则交线互相平行.

$p_{4} ：$ 若直线 $a ⊥$ 平面 $α$ ，直线 $a //$ 直线 $b$ ，则直线 $b ⊥$ 平面 $α$ .

则下述命题中所有真命题的序号是.

① $p_{1} \land p_{4}$ ② $p_{1} \land p_{2}$ ③ $\neg p_{2} \lor p_{3}$ ④ $\neg p_{3} \lor p_{4}$

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三、解答题

17. 在四边形 $A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $A B = B D = B C = 2$ .

(1)、若 $C D = \sqrt{2}$ ，求 $A D$ ；

(2)、若 $A D = C D$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积 $S$ .

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18. 一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件甲，乙，丙需要调整的概率分别为0.1，0.3，0.4，各部件的状态相互独立．

(1)、求设备在一天的运转中，部件甲，乙中至少有1个需要调整的概率；

(2)、记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望．

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19. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $P (2 ， \frac{5}{3})$ ，点 $Q$ 为其左顶点，且 $P Q$ 的斜率为 $\frac{1}{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、点 $R$ 为椭圆 $C$ 上任意一点，求 $△ P Q R$ 的面积的最大值.

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20. 如图，四棱锥 $S - A B C D$ 的底面为矩形， $S D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，设平面 $S A D$ 与平面 $S B C$ 的交线为m．

(1)、证明： $m / / B C$ ，且 $m ⊥$ 平面 $S D C$ ；

(2)、已知 $S D = A D = D C = 2$ ，R为m上的点求 $S B$ 与平面 $R C D$ 所成角的余弦值的最小值．

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21. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - \ln (x + 1) + 2 \ln a$ ．

(1)、当 $a = e$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) \geq 1$ ，求a的取值范围．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的普通方程为 $x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y + 9 = 0$ ，曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 3 \cos α \\ y = 2 \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数）.以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{4}$ ， $ρ \in R$ .

(1)、求 $C_{1}$ 的参数方程和 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、已知 $A$ 是 $C_{2}$ 上参数 $α = π$ 对应的点， $B$ 为 $C_{1}$ 上的点，当线段 $A B$ 的中点 $E$ 到直线 $l$ 的距离最大时，求点 $B$ 的直角坐标.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | - 2 | x + 1 |$ .

(1)、画出 $y = f (x)$ 的图象；

(2)、求不等式 $f (x) \geq f (x - 1)$ 的解集.

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