辽宁省六校2021-2022学年高三上学期数学期初联考试卷

试卷更新日期：2021-09-26 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 0 < x < 3}$ ， $B = {x | y = \sqrt{2 - x}}$ ，则 $A \cup ∁_{R} B =$ （）

A、 ${x | x > 0}$ B、 ${x | 0 < x < 2}$ C、 ${x | 0 < x < 3}$ D、 ${x | 2 < x < 3}$

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2. 复数z满足 $z (1 + i) = 2021 - i$ （i为虚数单位），则复数z的虚部为（）

A、1011 B、 $1011 i$ C、-1011 D、 $- 1011 i$

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3. 命题“ $\forall x \in (0 ， + \infty) ， e^{x} \leq x + 1$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in (0 ， + \infty) ， e^{x} \leq x + 1$ B、 $\forall x \in (0 ， + \infty) ， e^{x} > x + 1$ C、 $\exists x \in (0 ， + \infty) ， e^{x} > x + 1$ D、 $\exists x \notin (0 ， + \infty) ， e^{x} > x + 1$

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4. 抛物线 $y = - \frac{1}{8} x^{2}$ 的准线方程是（）

A、 $y = 2$ B、 $y = - 2$ C、 $x = \frac{1}{32}$ D、 $y = \frac{1}{32}$

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5. 一样本的频率分布直方图如图所示，样本数据共分3组，分别为[5，10)，[10，15)，[15，20]．估计样本数据的第60百分位数是（）

A、14 B、15 C、16 D、17

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6. “二进制”来源于我国古代的《易经》，二进制数由数字0和1组成，比如：二进制数 $011_{(2)}$ 化为十进制的计算公式如下： $011_{(2)} = 0 \times 2^{2} + 1 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0} = 3_{(10)}$ .若从二进制数 $11_{(2)}$ 、 $00_{(2)}$ 、 $10_{(2)}$ 、 $01_{(2)}$ 中任选一个数字，则二进制数所对应的十进制数大于2的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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7. 已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x) = | x - m + 1 | - 2$ ，若正实数 $a$ 、 $b$ 满足 $f (a) + f (2 b) = m$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{3}{b}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{8}{5}$ B、 $\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{5}$ C、 $\frac{8 \sqrt{3}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$

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8. 已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，当 $0 < x < \frac{π}{2}$ 时，有 $f^{'} (x) \cos x + f (x) \sin x > 0$ 成立，则关于 $x$ 的不等式 $∣ f (x) ∣ < \sqrt{2} f (\frac{π}{4}) \cdot \cos x$ 的解集为（）

A、 $(- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4})$ B、 $(- \frac{π}{2} ， - \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ C、 $(- \frac{π}{4} ， 0) \cup (0 ， \frac{π}{4})$ D、 $(- \frac{π}{4} ， 0) \cup (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$

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二、多选题

9. 若 $\cos (3 x + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $x$ 可以是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$

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10. 已知正六棱锥的侧面与底面所成的锐二面角 $θ = 30 °$ ，侧棱长为 $2 \sqrt{5}$ 米，则（）

A、正六棱锥的底面边长为2米 B、正六棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为 $\frac{1}{2}$ C、正六棱锥的侧面积为48平方米 D、正六棱锥的体积为 $16 \sqrt{3}$ 立方米

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11. 给出下列命题，其中正确的选项有（）

A、非零向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为 $30 °$ B、若 $(\vec{A B} + \vec{A C}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，则△ $A B C$ 为等腰三角形． C、等边△ $A B C$ 的边长为 $2$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = 2$ D、已知向量 $\vec{a} = (1 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (k ， 1)$ 且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $k = 0$

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12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列 ${a_{n}}$ 称为“斐波那契数列”，记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{6} = 8$ B、 $S_{9} = 54$ C、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots + a_{2019} = a_{2020}$ D、 $\frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots \dots + a_{2019}^{2}}{a_{2019}} = a_{2020}$

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三、填空题

13. 已知直线 $l_{1}$ ： $y = (2 a^{2} - 1) x - 2$ 与直线 $l_{2}$ ： $y = 7 x + a$ 平行，则 $a =$ ．

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14. 若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上可导，且 $f (x) \cdot f^{'} (x)$ 为单调函数.写出满足上述条件的一个函数.

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15. 在 ${(x + \frac{3}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则 $x^{2}$ 的系数为.

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16. 设直线 $l ： y = k x + b (k > 0)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 和圆 ${(x - 4)}^{2} + y^{2} = 1$ 均相切，则 $k =$ ；b= ．

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b \sin 2 A + a \sin B = 0$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $c = 3$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{15 \sqrt{3}}{4}$ ，求 $b$ 的值.

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18. 新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是50岁以上人群，该病毒进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间，潜伏期越长，感染到他人的可能性越高，现对400个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，统计发现潜伏期平均数为7.2，方差为

{2.25}^{2}

，如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，50岁以上人数占70%，长期潜伏人数占25%，其中50岁以上长期潜伏者有60人.

(1)、请根据以上数据完成

2 \times 2

列联表，并判断是否有95%的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；

$2 \times 2$ 列联表，单位：人

	50岁以下(含50岁)	50岁以上	总计
长期潜伏
非长期潜伏
总计

(2)、假设潜伏期

X

服从正态分布

N (μ ， σ^{2})

，其中

μ

近似为样本平均数

\bar{x}

，

σ^{2}

近似为样本方差

s^{2}

，现在很多省市对入境旅客一律要求隔离14天，请结合

3 δ

原则通过计算概率解释其合理性；

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.1	0.05	0.010
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635

若 $X \sim N (μ ， δ^{2}) ， P (μ - δ < X < μ + δ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 δ < X < μ + 2 δ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 δ < X < μ + 3 δ) \approx 0.9973$

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19. 已知数列{a_n}是公比不为1的等比数列，且a₃ +a₄ = 12，3a₁ ， 2a₂ ， a₃成等差数列.

(1)、求a_n；

(2)、设 $b_{n} = {\begin{matrix} n ， n 为奇数 \\ a_{n} ， n 为偶数 \end{matrix}$ ，求数列{b_n}的前2n项的和S_2n.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $∠ D A B = 45 °$ ， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A P ⊥ B D$ ．

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P D B$ ；

(2)、若 $A B = \sqrt{2}$ ， $P B$ 与平面 $A P D$ 所成角为 $45 °$ ，求二面角 $B - P C - D$ 的大小．

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21. 已知椭圆 $C$ 的标准方程为： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，若右焦点为 $F (\sqrt{2} ， 0)$ 且离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设 $M$ ， $N$ 是 $C$ 上的两点，直线 $M N$ 与曲线 $x^{2} + y^{2} = b^{2}$ 相切且 $M$ ， $N$ ， $F$ 三点共线，求线段 $| M N |$ 的长．

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22. 已知函数 $f (x) ＝ k \ln x ＋ \frac{2}{x} － 2$ ．
（Ⅰ）若函数 $f (x)$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与 $y$ 轴垂直，求 $f (x)$ 的极值；

（Ⅱ）讨论函数 $f (x)$ 的零点个数．

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