江西省宜春市2022届高三上学期理数8月月考试卷

试卷更新日期：2021-09-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {0 ， 1}$ ，则 $(C_{A} B) \cap A =$ （）

A、 ${- 1 ， 2}$ B、 $[0 ， 1]$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ D、 $[- 1 ， 2]$

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2. 下列有关命题的说法正确的是（）

A、命题“若 $x^{2} = 1$ ，则 $x = 1$ ”的否命题为：“若 $x^{2} = 1$ ，则 $x \neq 1$ ”． B、若 $p \lor q$ 为真命题，则 $p ， q$ 均为真命题. C、命题“存在 $x \in R$ ，使得 $x^{2} + x + 1 < 0$ ” 的否定是：“对任意 $x \in R$ ，均有 $x^{2} + x + 1 < 0$ ”． D、命题“若 $x = y$ ，则 $sin x = sin y$ ”的逆否命题为真命题．

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3. “ $sin x = 0$ ”是“ $cos x = - 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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4. 已知命题 $p ： \exists x \in R ， x - 1 \geq \lg x$ ，命题 $q ： \forall x \in (0 ， π) ， \sin x + \frac{1}{\sin x} > 2$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $p \lor q$ 是假命题 B、 $p \land q$ 是真命题 C、 $p \lor (\neg q)$ 是假命题 D、 $p \land (\neg q)$ 是真命题

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5. 已知命题p： $\forall x \in [0 ， π]$ ，使得 $\sin x < a$ ，命题q： $\exists x_{0} \in (\frac{1}{2} ， 3)$ ， $\frac{1}{x_{0}} + 1 > a$ ，若 $p \land q$ 为真命题，则a的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{4}{3})$ B、 $(0 ， 3)$ C、 $(1 ， 3)$ D、 $(1 ， \frac{4}{3})$

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6. 对于实数 $a ， b ， m$ ，下列说法：①若 $a > b$ ，则 $a m^{2} > b m^{2}$ ；②若 $a > b$ ，则 $a | a | > b | b |$ ；③若 $b > a > 0 ， m > 0$ ，则 $\frac{a + m}{b + m} > \frac{a}{b}$ ；④若 $a > b > 0$ ，且 $| \ln a | = | \ln b |$ ，则 $2 a + b \in [2 \sqrt{2} ， + \infty)$ ，其中正确的命题的个数

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 若关于x的不等式x²－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是（）

A、(－∞，－2) B、(－2，＋∞) C、(－6，＋∞) D、(－∞，－6)

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8. 已知x，y满足不等式组 ${\begin{array}{l} x + 3 y - 2 \leq 0 ， \\ x - 2 y + 3 \geq 0 ， \\ y \geq 0 ， \end{array}$ 若 $k x - y$ 的最小值是 $- \frac{5}{4}$ ，则实数k的值是（）

A、 $- \frac{5}{8}$ 或 $\frac{5}{12}$ B、 $\frac{1}{4}$ 或 $\frac{5}{8}$ C、 $- \frac{5}{8}$ 或 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{5}{12}$ 或 $\frac{1}{4}$

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9. 设 $0 < m < 12$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{4}{12 - m}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{9}{10}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{9}{5}$

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10. 在平面直角坐标系中，以原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度，已知曲线 $C$ ： $ρ \sin^{2} θ = 2 a \cos θ (a > 0)$ ，过点 $P (- 2 ， - 4)$ 的直线 $l$ 的参数方程为： ${\begin{array}{l} x = - 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = - 4 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ （ $t$ 为参数），直线 $l$ 与曲线 $C$ 分别交于 $M$ 、 $N$ 两点.若 $| P M |$ 、 $| M N |$ 、 $| P N |$ 成等比数列，求 $a$ 的值（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11. 已知实数a，b满足 $a = \log_{3} 4 + \log_{12} 9$ ， $5^{a} + 12^{a} = 13^{b}$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $a > b > 2$ B、 $b > a > 2$ C、 $2 > b > a$ D、 $a > 2 > b$

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12. 已知 $a > 1$ ，若存在 $x \in [1, + \infty)$ ，使不等式 $3 x \ln a < (x + 1) \ln a^{a}$ 成立，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(\frac{5}{4}, + \infty)$ C、 $(\frac{3}{2}, + \infty)$ D、 $(2, + \infty)$

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二、填空题

13. 集合 $A = {6 ， x ， y ， z}$ ， $B = {1 ， x y ， y z ， x z}$ ，若 $A = B \subseteq N$ ，则 $x + y + z =$ ．

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14. 不等式 $| 2 x - a | > | 2 a - 1 | - 2 | x |$ 对一切 $x \in R$ 都成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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15. 已知关于 $x$ 的不等式 $| x - 1 | + | 2 x + m | \leq | 2 x - 3 |$ 在 $x \in [0 ， 1]$ 上有解，则实数 $m$ 的取值范围为．

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16. 若 $x ， y \in R^{+}$ ， ${(x - y)}^{2} = {(x y)}^{3}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 已知 $f (x) = | x - a | + | x + b | (a > 0 ， b > 0)$ .

(1)、当 $a = 2$ ， $b = 1$ 时，解不等式 $f (x) \geq 9$ ；

(2)、若 $f (x)$ 的最小值为2，求 $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{2 b}$ 的最小值.

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18. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = 2 - \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 \cos θ$ .

(1)、写出直线 $l$ 的普通方程与曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、求直线 $l$ 被曲线 $C$ 截得的弦长.

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19. 解关于x的不等式： $a x^{2} - (a^{2} + 1) x + a \leq 0.$

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20. 已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为正数，且满足 $a + b + c = 1$ .证明：

(1)、 $\frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c} + \frac{1}{a + b} \geq \frac{9}{2}$ ；

(2)、 $\frac{a^{3}}{b c} + \frac{b^{3}}{a c} + \frac{c^{3}}{a b} \geq 1$ .

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21. 如图，已知在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为等腰梯形， $B C / / A D$ ， $A B = C D$ ， $E$ 为棱 $P B$ 上一点， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，且 $A C ⊥ B D$ ， $A D = 1$ ， $B C = P C = P B = 3$ ， $P O = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、证明： $A C ⊥ D E$ ；

(2)、是否存在点 $E$ ，使二面角 $B - D C - E$ 的余弦值为 $\frac{3 \sqrt{76}}{38}$ ？若存在，求出 $E$ 点位置，若不存在，请说明理由．

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22. 已知函数 $g (x) = a x^{2} - 2 x + 1 + b$ ， $a ， b \in R$ ，且关于 $x$ 的不等式 $g (x) < 0$ 的解集为 ${x | - 1 < x < 3}$ ，设 $f (x) = \frac{g (x)}{x}$ .

(1)、若存在 $x_{0} \in [1 ， 3]$ ，使不等式 $f (x_{0}) - 2 x_{0} \geq m$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若方程 $f (| 2^{x} - 1 |) + k \cdot \frac{2}{| 2^{x} - 1 |} - 3 k = 0$ 有三个不同的实数解，求实数 $k$ 的取值范围.

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