北师版数学九年级上册同步训练《4.5 相似三角形判定定理的证明》

试卷更新日期：2021-09-26 类型：同步测试

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一、单选题

1. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆 $B E$ 测量建筑物的高度，已知标杆 $B E$ 高 $1.5 m$ ，测得 $A B = 1.2 m$ ， $B C = 12.8 m$ ，则建筑物 $C D$ 的高是（）

A、 $17.5 m$ B、 $17 m$ C、 $16.5 m$ D、 $18 m$

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点C顺时针旋转得到 $△ D E C$ ，使点B的对应点E恰好落在边 $A C$ 上，点A的对应点为D ，延长 $D E$ 交 $A B$ 于点F ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $A C = D E$ B、 $B C = E F$ C、 $∠ A E F = ∠ D$ D、 $A B ⊥ D F$

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3. 如图，点E是 $▱ A B C D$ 的边 $A D$ 上的一点，且 $\frac{D E}{A E} = \frac{1}{2}$ ，连接 $B E$ 并延长交 $C D$ 的延长线于点F，若 $D E = 3 ， D F = 4$ ，则 $▱ A B C D$ 的周长为（）

A、21 B、28 C、34 D、42

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4. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 10 ， A D = 15 ， ∠ B A D$ 的平分线交 $B C$ 于点 $E ，$ 交 $D C$ 的延长线于点 $F ， B G ⊥ A E$ 于点 $G$ ，若 $B G = 8$ ，则 $△ C E F$ 的周长为（）

A、 $16$ B、 $17$ C、 $24$ D、 $25$

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5. 如图， $B E$ 与 $C D$ 交于点 $A ， ∠ C = ∠ E ， A C = 2 ， B C = 4 ， A E = 1.5$ ，则 $D E =$ （）

A、2 B、3 C、3.5 D、4

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6. 如图，面积为36的菱形 $A B C D$ 中， $O$ 为对角线的交点，点 $E$ 在 $B C$ 上，且 $B E = \frac{1}{3} B C$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ B D$ 于点 $F$ ， $E G ⊥ A C$ 于点 $G$ ，则四边形 $E F O G$ 的面积为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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7. 如图，矩形ABCD中，点G ， E分别在边BC ， DC上，连接AG ， EG ， AE ，将△ABG和△ECG分别沿AG ， EG折叠，使点B ， C恰好落在AE上的同一点，记为点F ．若CE＝3，CG＝4，则DE的长度为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{7}{3}$ C、3 D、 $\frac{5}{2}$

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8. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，F是 $A D$ 上一点，且 $A F = 2 F D$ ，连结 $B F$ 并延长交 $C D$ 的延长线于点G ，则 $\frac{B E}{E G}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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9. 如图，正方形 $A B C D$ 中，点F是 $B C$ 边上一点，连接 $A F$ ，以 $A F$ 为对角线作正方形 $A E F G$ ，边 $F G$ 与正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 相交于点H，连接 $D G$ ．以下四个结论：① $∠ E A B = ∠ G A D$ ；② $Δ A F C \sim Δ A G D$ ；③ $2 A E^{2} = A H \cdot A C$ ；④ $D G ⊥ A C$ ．其中正确的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（）

A、4个 B、5个 C、6个 D、7个

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二、填空题

11. 如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，点D是边BC的中点，∠ABC＝∠CAD，将ACD沿直线AD翻折，点C落在点E处，连结BE，那么线段BE的长为．

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12. 如图，点O是正方形ABCD的中心，点E在BC上，连接AE，过点O作FG⊥AE于点H，FG分别交AB，CD于点F，G，若AE＝13，DG＝ $\frac{7}{2}$ ，则FH的长为．

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13. 已知：如图，在三角形 $A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D$ 边 $A B$ 上的高， $B D = 4$ ， $A D = 6$ ，则 $B C ： A C =$

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14. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，E是 $B C$ 的中点， $D F ⊥ A E$ ，垂足为F ．若 $A B = 6$ ， $B C = 4$ ，则 $D F$ 的长为．

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15. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，连接 $B D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A D ⊥ B D$ ， $\tan ∠ B D C = 1$ .若 $A B = 15$ ， $B C = 10$ ，则 $B D =$ .

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16. 如图，将三角形纸片(△ABC)进行折叠，使点B落在边AC上，记为点D，折痕为EF。已知AB=AC=3，BC=4，若以点A，E，D为顶点的三角形与△ABC相似，则BE=。

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三、解答题

17. 已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF ， CE的延长线交DA的延长线于点G ， CF的延长线交BA的延长线于点H ．

(1)、求证：△BEC∽△BCH；

(2)、如果BE²=AB•AE ，求证：AG=DF ．

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18. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点O ．过点O作 $B D$ 的垂线，交 $B A$ 延长线于点E ，交 $A D$ 于F ，交 $B C$ 于点N ，若 $E F = O F$ ， $∠ C B D = 30 °$ ， $B D = 6 \sqrt{3}$ ．

(1)、求证： $E F = \frac{1}{3} E N$ ；

(2)、求 $A F$ 的长．

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19. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，E是 $B C$ 的中点， $D F ⊥ A E$ ，垂足为F.

(1)、求证： $Δ A B E ∽ Δ D F A$ ；

(2)、若 $A B = 6$ ， $B C = 4$ ，求 $D F$ 的长.

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20. 矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12.将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE.

(1)、如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求 $\frac{A P}{D E}$ 的值；

(2)、如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长.

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21.

(1)、（初步尝试）
如图①，在三角形纸片 $A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，将 $△ A B C$ 折叠，使点B与点C重合，折痕为 $M N$ ，则 $A M$ 与 $B M$ 的数量关系为；

(2)、（思考说理）
如图②，在三角形纸片 $A B C$ 中， $A C = B C = 6$ ， $A B = 10$ ，将 $△ A B C$ 折叠，使点B与点C重合，折痕为 $M N$ ，求 $\frac{A M}{B M}$ 的值.

(3)、如图③，在三角形纸片 $A B C$ 中， $A B = 9$ ， $B C = 6$ ， $∠ A C B = 2 ∠ A$ ，将 $△ A B C$ 沿过顶点 $C$ 的直线折叠，使点B落在边 $A C$ 上的点 $B^{'}$ 处，折痕为 $C M$ .
①求线段 $A C$ 的长；

②若点O是边 $A C$ 的中点，点P为线段 $O B^{'}$ 上的一个动点，将 $△ A P M$ 沿 $P M$ 折叠得到 $△ A^{'} P M$ ，点A的对应点为点 $A^{'}$ ， $A^{'} M$ 与 $C P$ 交于点F，求 $\frac{P F}{M F}$ 的取值范围.

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22. 四边形 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形， $E$ 是 $A B$ 的中点，连结 $D E$ ，点 $F$ 是射线 $B C$ 上一动点(不与点 $B$ 重合)，连结 $A F$ ，交 $D E$ 于点 $G$ .

(1)、如图1，当点 $F$ 是 $B C$ 边的中点时，求证： $△ A B F ≌ △ D A E$ ；

(2)、如图2，当点 $F$ 与点 $C$ 重合时，求 $A G$ 的长；

(3)、在点 $F$ 运动的过程中，当线段 $B F$ 为何值时， $A G = A E$ ？请说明理由.

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