江苏省苏州市2021-2022学年高三上学期数学期初调研试卷

试卷更新日期：2021-09-26 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知M､N为R的子集，若 $M \cap (∁_{R} N) = \emptyset$ ， $N = {1 ， 2}$ ，则满足题意的M的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 复数z满足 $(1 + i) z = 1 + 2 i$ （i为虚数单位），则在复平面内z表示的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (0 ， 1)$ ，如果 $P (ξ \leq 1) = 0.84$ ，则 $P (- 1 < ξ \leq 0)$ 为（）

A、0.34 B、0.68 C、0.15 D、0.07

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4. 衡阳创建“全国卫生文明城市”活动中，大力加强垃圾分类投放宣传.某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三种不同的垃圾桶.一天，居民小贤提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有一袋垃圾投对的概率为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5. 已知 $m$ ， $n$ 为两条不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 为三个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $α ⊥ β$ ， $γ ⊥ β$ 且 $α \cap γ = m$ ，则 $m ⊥ β$ C、若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $m / / β$ ， $n / / β$ ，则 $α / / β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n / / β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$

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6. 设a､b是正实数，以下不等式恒成立的为（）

A、 $\sqrt{a b} > \frac{2 a b}{a + b}$ B、 $a b + \frac{2}{a b} > 9$ C、 $a^{2} + b^{2} > 4 a b - 3 b^{2}$ D、 $a > | a - b | - b$

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7. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个非零向量，下列说法正确的是（）

A、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | - | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | - | \vec{b} |$ C、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | - | \vec{b} |$ ，则存在实数 $λ$ ，使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$ D、若存在实数 $λ$ ，使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | - | \vec{b} |$

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8. 已知点 $P$ 为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 右支上一点， $F_{1} ， F_{2}$ 分别为 $C$ 的左，右焦点，直线 $P F_{1}$ 与 $C$ 的一条渐近线垂直，垂足为 $H$ ，若 $| P F_{1} | = 4 | H F_{1} |$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{7}{3}$

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二、多选题

9. 5G技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的服务范围.目前，我国加速了5G技术的融合与创新，前景美好!某手机商城统计了5个月的5G手机销量，如下表所示：

月份	2020年6月	2020年7月	2020年8月	2020年9月	2020年10月
月份编号x	1	2	3	4	5
销量y部	52	95	a	185	227

若y与x线性相关，由上表数据求得线性回归方程为 $\hat{y} = 44 x + 10$ ，则下列说法正确的是（）

A、5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约10台 B、

a = 155

C、y与x正相关 D、预计12月份该手机商城的5G手机销量约为318部

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10. 设 $S_{n}$ 是公差为 $d (d \neq 0)$ 的无穷等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则下列命题正确的是（）

A、若 $d < 0$ ，则数列 ${S_{n}}$ 有最大项 B、若数列 ${S_{n}}$ 有最大项，则 $d < 0$ C、若数列对任意的 $n \in N^{*}$ ， $S_{n + 1} > S_{n}$ 恒成立，则 $S_{n} > 0$ D、若对任意的 $n \in N^{*}$ ，均有 $S_{n} > 0$ ，则 $S_{n + 1} > S_{n}$ 恒成立

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11. 已知曲线 $C ： \sqrt{{(x + 1)}^{2} + y^{2}} \cdot \sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}} = 3$ ，以下判断正确的是（）

A、曲线C与y轴交点为 $(0 ， \pm 2)$ B、曲线C关于y轴对称 C、曲线C上的点的横坐标的取值范围是 $[- 2 ， 2]$ D、曲线C上点到原点的距离最小值为 $\sqrt{2}$

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12. 在棱长固定的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E ， F分别满足 $\vec{A E} = λ \vec{A B}$ ， $\vec{B F} = μ \vec{B C} (λ \in [0 ， 1] ， μ \in [0 ， 1])$ ，则（）

A、当 $μ = \frac{1}{2}$ 时，三棱锥 $A_{1} - B_{1} E F$ 的体积为定值 B、当 $μ = \frac{1}{2}$ 时，存在 $λ$ 使得 $B D_{1} ⊥$ 平面 $B_{1} E F$ C、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，点A ， B到平面 $B_{1} E F$ 的距离相等 D、当 $λ = μ$ 时，总有 $A_{1} F ⊥ C_{1} E$

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三、填空题

13. 已知双曲线的一条渐近线方程是 $y = \sqrt{3} x$ ，它的一个焦点在抛物线 $y^{2} = 24 x$ 的准线上，则双曲线的标准方程为.

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14. 等腰直角 $△ A B C$ 中，点P是斜边 $B C$ 边上一点，若 $\vec{A P} = \frac{4 \vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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15. 设 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，满足： $\frac{x_{1} f (x_{1}) - x_{2} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，若 $f (2) = 4$ ，则不等式 $f (x) - \frac{8}{x} > 0$ 的解集为.

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16. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图（单位： $cm$ ）所示，四边形 $A F E D$ 为矩形， $A B$ ， $C D$ ， $F E$ 均与圆O相切，B､C为切点，零件的截面BC段为圆O的一段弧，已知 $\tan α = \frac{4}{3}$ ， $\tan β = \frac{3}{4}$ ，则该零件的截面的周长为.（结果保留 $π$ ）

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 2^{n + 1} + 2 (n \in N^{*})$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{4^{n}}$ ，若 $T_{n} = b_{1} + b_{2} + b_{3} + \cdot \cdot \cdot + b_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $\cos B = \frac{3}{4}$ ，点 $D$ 在 $B C$ 边上， $A D = 4$ ， $∠ A D B$ 为锐角．

(1)、若 $A C = 6 \sqrt{2}$ ，求线段 $D C$ 的长度；

(2)、若 $∠ B A D = 2 ∠ D A C$ ，求 $\sin C$ 的值．

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19. 某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为 $\frac{3}{4}$ ，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响.

(1)、试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大；

(2)、若答对一题得5分，答错或不答得0分，记乙答题的得分为 $Y$ ，求 $Y$ 的分布列及数学期望和方差.

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20. 在底面为正方形的四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D ， P A = P D ， E ， F$ 分别为棱 $P C$ 和 $A B$ 的中点.

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若直线 $P C$ 与 $A B$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 所成锐二面角的大小.

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21. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点A ，右焦点F ，其上一点 $P (\frac{4}{3} ， \frac{b}{3})$ ，以 $A P$ 为直径的圆经过F.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、直线l与椭圆C有且只有一个公共点.求证：在x轴上存在两个定点，它们到直线l的距离之积等于1.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x + a x}{e^{x}}$ ， $a \in R$ .

(1)、若函数 $y = f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处取得极值1，其中 $\ln 2 < x_{0} < \ln 3$ .证明： $2 - \frac{1}{\ln 2} < a < 3 - \frac{1}{\ln 3}$ ；

(2)、若 $f (x) \leq x - \frac{1}{e^{x}}$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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