江苏省南通市重点中学2021-2022学年高三上学期数学9月强基测试试卷

试卷更新日期：2021-09-26 类型：开学考试

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一、单选题

1. 设 $A = {x | x > 1}$ ， $B = {x | x^{2} - x - 2 < 0}$ ，则 $(C_{R} A) \cap B$ =（）

A、 ${x | x > - 1}$ B、 ${x | - 1 < x \leq 1}$ C、 ${x | - 1 < x < 1}$ D、 ${x | 1 < x < 2}$

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2. 平流层是指地球表面以上 $10 k m$ 到 $50 k m$ 的区域，下述不等式中， $x$ 能表示平流层高度的是（）

A、 $| x + 10 | < 50$ B、 $| x - 10 | < 50$ C、 $| x + 30 | < 20$ D、 $| x - 30 | < 20$

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3. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“ ”，如图就是一重卦.如果某重卦中有3个阳爻，3个阴爻，则它可以组成种重卦（）

A、6 B、15 C、20 D、1

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} - e^{- x} (x > 0) \\ - x^{2} (x \leq 0) \end{array}$ ，若 $a = 5^{0.01} ， b = \frac{3}{2} \log_{3} 2 ， c = \log_{2} 0.9$ ，则有（）

A、 $f (a) > f (b) > f (c)$ B、 $f (b) > f (a) > f (c)$ C、 $f (a) > f (c) > f (b)$ D、 $f (c) > f (a) > f (b)$

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5. 函数 $y = A \sin (ω x + φ) + b$ 在一个周期内的图象如图（其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ），则函数的解析式为（）

A、 $y = 2 \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{3}) + 1$ B、 $y = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3}) + 1$ C、 $y = 2 \sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{3}) + 1$ D、 $y = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3}) + 1$

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6. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a^{2} - a^{2} \cos^{2} B + b^{2} \sin^{2} A = 2 a b \cos A \cos B$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、等腰三角形

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7. 如图，无人机在离地面高300m的处，观测到山顶 $A$ 处的俯角为 $15^{\circ}$ 、山脚 $C$ 处 $M$ 的俯角为 $60^{\circ}$ ，已知 $A B = B C$ ，则山的高度 $A B$ 为（）

A、 $150 \sqrt{2} m$ B、 $200 m$ C、 $200 \sqrt{2} m$ D、 $30 0m$

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8. 三棱锥 $P - A B C$ 的所有顶点都在球 $O$ 的球面上.棱锥 $P - A B C$ 的各棱长为： $P A = 2$ ， $P B = 3 ， P C = 4 ， A B = \sqrt{13} ， B C = 5 ， A C = 2 \sqrt{5}$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $28 π$ B、 $29 π$ C、 $30 π$ D、 $31 π$

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二、多选题

9. 已知 $a, b \in R$ ，则下列叙述中正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、若 $a - | b | > 0$ ，则 $a + b > 0$ C、“ $a > 1$ ”是“ $a^{2} > a$ ”的充分不必要条件 D、命题“ $\forall a \geq 1$ ， $a^{2} - 1 \geq 0$ ”的否定是“ $\exists a < 1$ ， $a^{2} - 1 < 0$ ”

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10. 关于函数 $f (x) = 4 \sin (2 x + \frac{π}{3}) (x \in R)$ 有下列命题，其中正确的是（）

A、 $y = f (x)$ 是以 $2 π$ 为最小正周期的周期函数 B、 $y = f (x)$ 的表达式可改写为 $f (x) = 4 \cos (2 x - \frac{π}{6})$ C、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 D、 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 对称

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11. 在公比 $q$ 为整数的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{1} + a_{4} = 18$ ， $a_{2} + a_{3} = 12$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $q = 2$ B、数列 ${S_{n} + 2}$ 是等比数列 C、 $S_{8} = 510$ D、数列 ${\lg a_{n}}$ 是公差为2的等差数列

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12. 抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F ，直线l过点F ，斜率 $k > 0$ ，且交抛物线C于A ， B(点A在x轴的下方)两点，抛物线的准线为m ， $A A_{1} ⊥ m$ 于 $A_{1}$ ， $B B_{1} ⊥ m$ 于 $B_{1}$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{B F} = 3 \vec{F A}$ ，则 $k = \sqrt{3}$ B、 $\frac{1}{| F A |} + \frac{1}{| F B |} = 1$ C、若 $k = 1$ ，则 $| A B | = 12$ D、 $∠ A_{1} F B_{1} = 90 °$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (m ， 3) ， \vec{b} = (1 ， - 2)$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ ．

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14. 已知 $\sin (α - \frac{π}{3}) = - 3 \cos (α - \frac{π}{6})$ ，则 $\tan 2 α$ 的值为.

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15. 已知F为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点，过F作C的渐近线的垂线FD，D为垂足，且 $| F D | = \frac{\sqrt{3}}{2} | O F |$ （O为坐标原点），则C的离心率为.

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16. 在平面直角坐标 $x O y$ 中，已知 $Q (0 ， 2 \sqrt{2})$ ， $A$ ， $B$ 是圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 9$ 上的两个动点，满足 $| Q A | = | Q B |$ ，则 $△ A B Q$ 面积的最大值是．

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四、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中， $3 \sin A = 2 \sin B, \tan C = \sqrt{35}$ .

(1)、求 cos2C ；

(2)、若 $A C - B C = 1$ ，求 $Δ A B C$ 的周长.

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ( $n \in N_{+}$ )，数列 ${b_{n}}$ 是等比数列， $a_{1} = 3$ ， $b_{1} = 1$ ， $b_{2} + S_{2} = 10$ ， $a_{5} - 2 b_{2} = a_{3}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = {\begin{array}{l} \frac{2}{S_{n}} ， n 为奇数 \\ b_{n} ， n 为偶数 \end{array}$ ，设数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{2 n}$ .

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19. 2017年11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”，吸引了大批投资商的目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中.某投资公司准备在2018年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中.
项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证.现准备投资建设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到2020年底每个天坑院盈利的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，若盈利则盈利投资额的40%，否则盈利额为0.

项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态､文化和人文地理于一体的自然山水景区.据市场调研，投资到该项目上，到2020年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别为 $p$ 和 $1 - p$ .

(1)、记 $X$ (单位：百万元)为投资项目一盈利额，求 $E (X)$ (用 $p$ 表示)；

(2)、试以项目盈利的期望为依据，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由.

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20. 如图，在四棱锥S﹣ABCD中，ABCD为直角梯形，AD∥BC ， BC⊥CD ，平面SCD⊥平面ABCD ． △SCD是以CD为斜边的等腰直角三角形，BC＝2AD＝2CD＝4，E为BS上一点，且BE＝2ES ．

(1)、证明：直线SD∥平面ACE；

(2)、求二面角S﹣AC﹣E的余弦值．

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21. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(- 1, \frac{3}{2})$ ，顺次连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，点 $P (1, 0)$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程.

(2)、已知点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 是椭圆 $C$ 上的两点.
（ⅰ）若 $x_{1} = x_{2}$ ，且 $△ P A B$ 为等边三角形，求 $△ P A B$ 的边长；

（ⅱ）若 $x_{1} \neq x_{2}$ ，证明： $△ P A B$ 不可能为等边三角形.

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - x - 1 (a \in R) ， g (x) = x^{2}$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a > 0$ 时，若曲线 $C_{1} ： y = f (x) + x + 1$ 与曲线 $C_{2} ： y = g (x)$ 存在唯一的公切线，求实数 $a$ 的值；

(3)、当 $a = 1 ， x \geq 0$ 时，不等式 $f (x) \geq k x l n (x + 1)$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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